图系列&排序&效率优化[动态规划/贪心]&数学－－算法过程及其意义

图系列

－　图存储
图
基于矩阵实现－－－适合稠密图
基于邻接链表实现－－－适合稀疏图
设结点数为N
设边数为M
稀疏还是稠密主要依据M和N*N关系界定．
一般M=N*N/2可界定为稠密．

－　图算法：深度搜索
算法：单一结点深度访问
算法描述：
对结点ｐ的深度访问：

访问ｐ
按分治方式对结点每个未被访问孩子执行深度访问

算法：图的深度访问
算法描述：
循环迭代：
从图中未被访问结点中选出一个ｐ，对ｐ执行单一结点深度访问
循环迭代的终止：
无法选出未被访问结点

算法解决的问题＆性质：
单一结点深度访问时，可完成所有从结点可达结点的访问
且访问过程是下降，
下降到底依次上升一层执行兄弟结点访问这样一个动态过程

－　图算法：广度搜索
算法：单一结点广度访问
算法描述：
对结点ｐ的广度访问：
ｐ入队列
循环迭代：
出队列得到ｑ．
对ｑ访问．对ｑ所有可达且尚未访问结点ｔ执行入队列．
循环迭代的终止：
无结点可出队列

算法:图的广度访问
算法描述：
循环迭代：
从图中未被访问结点中选出一个ｐ，对ｐ执行单一结点广度访问
循环迭代的终止：
无法选出未被访问结点

算法解决的问题＆性质：
单一结点广度访问时，可完成所有从结点可达结点的访问
且访问过程是一层一层，访问完一层，再访问下一层这样一个动态过程

－　图算法：最小生成树
最小生成树－－prim和kruskal
prim基于结点迭代，更适合用于稠密图
kruskal基于边迭代，更适合用于稀疏图

算法：稠密图下用prim实现最小生成树求取算法
算法描述：

选择一个结点作为树的根结点
选择结点ｐ已经在最小生成树中
对所有ｐ可达结点更新结点距离最小生成树的距离
循环迭代：
从不在最小生成树的结点中选出距离树距离最小的结点ｔ
对ｔ可达且不在最小生成树中的结点更新其与最小生成树的距离

循环迭代的终止：
无法选出ｔ或选出ｔ到最小生成树的距离为无限
 
算法解决的问题＆性质：
最小生成树用代价最小的边集合得到一个连通图中任意两点的方案
最小生成树算法存在的意义在于为无向连通图
找出一个代价最小的可连通图中任意两个顶点的方案
对不连通图，运行结果是返回失败

－　图算法：指定结点ｐ到其余所有结点的最短路径Dijstra
指定结点到其余所有结点的最短路径
Dijstra算法，基于结点迭代

算法描述：
给定结点ｐ
设ｐ到ｐ的最短路径为０
更新所有ｐ可达且到ｐ最短路径尚未确定结点到ｐ的能达到的最短路径

循环迭代：
选择到ｐ最短路径尚未确定结点中
到ｐ能达到的最短路径最小的那个ｔ．
ｔ到ｐ的最短路径变为确定．
对ｔ可达且所有到ｐ最短路径尚未确定结点
进行到ｐ的能达到的最短路径的检测＆更新

循环迭代的终止：
无法选出ｔ

算法解决的问题＆性质：
求取ｐ到其余所有结点最短路径解决的是权重非负图，
ｐ到每个结点一条最短路径
Dijstra算法产生的背景是为路由器充当结点的计算机网络中路由器
确定到其他路由器的最短路径并据此设置路由器的转发表
也属于基于结点的迭代

－　图算法：拓扑排序
算法描述：
对每个结点计算其入度
入度为０结点单独存入一个集合Ａ

循环迭代：
选出一个入度为０结点ｐ
更新所有从ｐ可达且尚未处理结点ｐ的入度，若入度变为０放入集合Ａ

循环迭代终止：
无法选出入度为０节点

算法解决的问题＆性质
如果结束时，所有结点已被处理，则按结点处理顺序产生的序列中，
前面结点可能有到达后面结点的路径，
而后面结点不可能有到达前面结点路径
如果结束时，仍有结点未被处理，则剩余未处理结点存在环路
拓扑排序可用于有向图的环路检测，
结点的可达与不可达性质也可用于解决特定问题

－　图算法：适合稀疏图的邻接表存储及求取最小生成树的Kruskal算法
图的邻接表存储－－－适合稀疏图
对稀疏图求解最小生成树更适合用Kruskal[基于边迭代]

对边按权重升序排序
依次处理每条边
若边的两个结点属于不同集合，执行集合合并．边被标记为选中．
若边的两个结点属于同一集合，略过

处理结束
若选中边数为N-1．
所有结点均属于同一集合．
求得最小生成树．
否则，无法求得最小生成树．

－　图算法：关键路径＆关键结点
略
特定条件图，
对每个结点从ｓ到ｅ广度搜索得到每个结点最早完成时间
特定条件图逆转，
对从ｅ到ｓ每个结点广度搜索得到每个结点最晚完成时间
最早完成时间与最晚完成时间一致结点为关键结点．
关键结点间路径为关键路径．

排序

－　归并排序
划分，对划分后子问题执行归并排序
对两个有序子问题执行合并
时间效率稳定为O(Nlog(N))

－　快速排序
选出主元，按主元进行划分
划分后两个子问题执行快速排序
可能退化到O(N^2)
平均效率为O(Nlog(N))

－　基数排序
分配收集
［从最低位，
按最低位值对所有元素进行桶分配，按桶有序收集元素．
对收集后元素，
按次低位进行桶分配，再次按次低位的桶进行元素收集．

循环迭代，最高位收集完毕即完成排序］

适用场景受限，没有特殊需要使用快速排序／归并排序作元素排序即可

效率优化

－　动态规划
是针对运用分治的算法中，存在重复求解子问题现象下，
对已经求解的子问题进行记录，
求解一个子问题时，
先查询此问题是否已被求解，
来避免重复求解同一子问题的效率优化方法

－　贪心算法
是适合在每一步有多种选择，
每种选择后得到一个规模更小的同类问题．
可以尝试每种选择并得到一个结果，在归并选出最终结果．
但若问题满足某种性质，利用此性质，
可以在每一步只尝试一种选择，
这样的情况称为贪心算法．

数学

数学：
求素数：只能被１和其自身整除的数
最小公倍数，最大公约数
对ａ，ｂ
有ａ＊ｂ＝ａｂ的最大公约数＊ａｂ的最小公倍数

求解ａｂ的最大公约数[a >= b]
int temp1 = a;
int temp2 = b;

temp1 = b;
temp2 = a % b;

循环迭代的终止：
temp2为０
temp1为ａｂ的最大公约数