第二章 流体静力学

第二章 流体静力学

2.1 流体静压强及其基本特性

1、定义

2、特性

① 方向

用反证法证明：用静止来证明没有切向压强，用不能受拉证明指向内法线方向

② 大小

证明如下：微元分析法，微元四面体受到指向内的表面力和质量力，通过列x/y/z方向的力平衡方程，可证得任意方向的压强都相同

总结

2.2 欧拉平衡微分方程

因为压强是连续函数，所以任一点处的压强可用泰勒级数表示：

在静止流体中，任取一以任一点M为中心的边长为dx、dy、dz的微元平行六面体，六面体各个=边长分别于直角坐标轴平行

由流体静压强的特性，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强，设M点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可以按泰勒级数展开

垂直于x轴的ABCD、EFGH两个平面中心点上的静压强分别为：

则x方向上表面力的合力为：

x方向上的质量力为：

则x方向的作用力的合力为：

最后得欧拉平衡微分方程：



总结：
欧拉平衡微分方程的物理意义为：处于平衡状态的流体中压强的变化率与单位质量力之间的关系，即对于单位质量流体而言，质量力分布和表面力分量是对应的。

2.3 流体静力学基本方程

1、形式

① 推导过程

首先，由欧拉平衡微分方程可以得到：

因为等式的右边是p的全微分，所以左边也必须是某一个坐标函数W的全微分，即：

可得：dp=ρdW
对于不可压缩的均质流体，密度ρ为常数，积分上式，得到：p=ρW+C
又因为：

得：



当W为关于重力的势函数时，单位质量力在各坐标轴上的分力为：f_x=0，f_y=0，f_z= -g
则势函数变为：

得到：dp=-ρgdz
对于不可压缩的均质流体而言，密度ρ为常数，积分上式，得到：

重要！！！

这就是流体静力学基本方程
另一种表达方式：

② 适用范围

重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体

2、物理意义和几何意义

1. 物理意义：重力作用下，静止流体势能不变，位置势能与压强势能可以相互转化
   
   

2. 几何意义：在重力作用下，静止流体中各点的测压水头都相同，位置水头和压强水头可以相互转化
   

2.4 流体静压强的度量及表示方法

1、表示方法

2、度量单位

3、等压面的条件

1. 同一种类的连续介质液体
2. 水平面

4、流体静压强分布图

1. 静压强大小与淹没深度呈直线正比关系
2. 静压强方向垂直指向作用面

2.5 作用在曲面上的静水总压力

先微元，再积分

压力体：
通过受压曲面边界线向与大气相通的自由表面延伸形成以柱体，该柱体体积为延伸面与自由表面及曲面包围的体积，通常称为压力体

实压力体：
压力体和液体位于曲面的同侧，压力体内充满实际液体
作用力的垂直分量向下

---

虚压力体：
压力体和液体位于曲面的两侧，压力体内是空的
作用力的垂直分量向上

---

混合压力体：
复杂曲面，部分是实压力体，部分是虚压力体，作用力的垂直分量有的向上，有的向下，注意叠加

计算步骤

例一

例二

总结

作用在轴对称曲面上的静水总压力分为水平分力和垂直分力。
水平分力可以通过作用在平面上的静水总压力计算，垂直分力的大小为压力体的重量，方向根据压力体的虚实判断。

2.7 浮力和潜体及浮体的稳定性

1、浮力的原理

水平分力：



垂直分力：




结论：

综上所述，液体作用在沉没或者漂浮物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于物体所排开液体的重量，该力又称为浮力，作用线通过压力体的几何中心，又称浮心，这就是著名的阿基米德原理。从上面的分析可以看出：浮力的存在就是物体表面上作用的液体压强不平衡的结果

重心：

浮心：

重心和浮心的相对位置：

物体在液体中的三种存在方式：

2、浮体与潜体的稳定性

浮体和潜体维持平衡的必要条件：重力和浮力相等，物体既不上浮，也不下沉
如果要求浮体和潜体在液体中不发生转动，还必须满足：重力和浮力对任意一点的力矩的代数和为0，及重心C和浮心B在同一条铅直线上，但这种稳定性还取决于重心和浮心在同一条铅直线上的相对位置

稳定平衡：


不稳定平衡：


随遇平衡：

总结