线性规划建模实战1

投资收益和风险

1问题题出：

市场上有n种资产s_i(i=1,2,L,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买s_i的平均收益率为r_i，风险损失率为q_i，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的s_i中最大的一个风险来度量。

购买s_i时要付交易费，费率为p_i，当购买额不超过给定值u_i时，交易费按购买u_i计算。另外，假定同期银行存款利率是r₀，既无交易费又无风险（r₀=5%）。

已知n=4时相关数据如表1.1。

表1.1 投资的相关数据

si	ri(%)	qi(%)	pi(%)	ui(元)
s1	28	2.5	1	103
s2	21	1.5	2	198
s3	23	5.5	4.5	52
s4	25	2.6	6.5	40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

2符号规定和基本假设

符号规定：

s_i表示第i种投资项目，如股票，债券等，i=0,1,L,n，期中s₀指存入银行；

r_i,p_i,q_i分别表示s_i的平均收益率，交易费率，风险损失率，i=0,1,L,n，其中p₀=0，q₀=0；

u_i表示s_i的交易定额，i=1,L,n；

x_i表示投资项目s_i的资金，i=0,1,L,n；

a表示投资风险度；

Q表示总体收益。

基本假设：

• 投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1；
• 投资越分散，总的风险越小；
• 总体风险用投资项目s_i中最大的一个风险来度量；
• n+1种资产s_i之间是相互独立的；
• 在投资的这一时期内，r_i,p_i,q_i为定值，不受意外因素影响；
• 净收益和总体风险只受r_i,p_i,q_i影响，不受其他因素干扰。

3模型的分析与建立

1.总体风险用所投资的s_i中最大的一个风险来衡量，即

max{q_ix_i|i=1,2,L,n}.

2.购买s_i(i=1,L,n)所付交易费是一个分段函数，即
$$交易费=\{\begin{array}{l}{p}_i{x}_i,x_i>u_i\\ p_i{u}_i,x_i\le u_i\end{array}$$
而题目所给的定值u_i（单位：元）相对总投资M很少，p_iu_i更小，这样购买s_i的净收益可以简化为(r_i-p_i)x_i。

3.要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型，但是可以转化成线性规划。

目标函数为
$$\{\begin{array}{l}max{\sum }_{i=0}^n(r_i-p_i)x_i\\ minmax\{q_i{x}_i\}\end{array}$$

约束条件为
$$\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=0}^n(1+p_i)x_i=M\\ x_i\ge 0,i=0,1,\dots ,n\end{array}$$

a)在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险
$$\frac{q_i{x}_i}{M}\le a$$
，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型一  固定风险水平，优化收益

$$max\sum _{i=0}^n(r_i-p_i)x_i$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}\frac{q_i{x}_i}{M}\le a\\ {\sum }_{i=0}^n(1+p_i)x_i=M,x_i\ge 0,i=0,1,\dots ,n\end{array}$$

模型二   固定盈利水平，极小化风险

$$min\{max\{q_i{x}_i\}\}$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=0}^n(r_i-p_i)x_i\ge k\\ {\sum }_{i=0}^n(1+p_i)x_i=M,x_i\ge 0,i=0,1,\dots ,n\end{array}$$

c)投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重
s(0 < s <=1)和(1-s)，s称为投资偏好系数。

模型三

$$mins\{max\{q_i{x}_i\}\}-(1-s)\sum _{i=0}^n(r_i-p_i)x_i$$
$$s.t.\sum _{i=0}^n(1+p_i)x_i=M,x_i\ge 0,i=0,1,2,\dots ,n$$

4模型一的求解

$$minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4{)}^T$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_0+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=1\\ 0.025x_1\le a\\ 0.015x_2\le a\\ 0.055x_3\le a\\ 0.026x_4\le a\\ x_i\ge 0(i=0,1,\dots ,4)\end{array}$$

由于a是任意给定的风险度，到底怎么样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长Δa=0.001进行循环，编程如下：

clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;plot(a,Q,'*K');
    a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

通过运行结果可以看出

• 风险大，收益也大
• 当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资
• 在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点的右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，大约是a=0.6%，Q=20%，所对应的投资方案为：风险度a=0.006，收益Q=0.2019，x₀=0，x₁=0.24，x₂=0.4，x₃=0.1091，x₄=0.2212。