正态分布矩母函数

正态分布矩母函数的求解

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1. 必要公式推导

求的是∫exp(-(x^2)/2)dx,我们先考虑他的平方
(∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(x^2)/2)dx) = (∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(y^2)/2)dy) = ∫∫exp(-(x^2 + y^2)/2)dxdy
这里把第二个积分的积分变量从x换成了y,这是可以的
再用极坐标变换
x = rcost
y = rsint
得到：
原式 = ∫dt∫r * exp(-(r^2)/2)dr
这里t的范围是0到2pi（圆周率）,r的范围是0到无穷大.后面那个积分里面出现了一个r是因为在做换元法的时候需要乘以jacobi行列式.现在这两个积分都可以积出来了
第一个积分等于2pi,第二个积分用第一换元法把r放到微分里面就可以直接积分,得到-exp(-r^2/2),r从0到无穷大,所以值为-exp(无穷大) + exp(0) = 1
所以原式 = 2pi * 1 = 2pi
所以你要求的积分等于(2pi)^(1/2)

其中jacobi行列式的计算如下

也能够用面积计算的方式去理解rdrd

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网上以为网友的提问的截图，其实就可以利用二次项和一次项合并，以及上述证明的公式，最终推导出结果。