快速幂（Java）

快速幂

相关例题：

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

0≤a,b,p≤1e9
数据保证 p≠0

常规解决方法（暴力解法）

C语言的学习让我们深深的爱上了for循环的使用，在我看到这题的时候，不加思索，循环用b控制循环的次数，得出结果之后再取模。解决！但是当我们想当然的把自己的代码提交之后，就会发现“时间超限！”那么有没有什么可以解决时间超限的问题，也就是可以让循环的次数尽可能少。这就引出了今天要介绍的内容：快速幂

快速幂的理解

以3^{6为例子，我们发现3}6=3^3*33，3^{3又可以化为3}1*3^1，当然最后的结果要在乘以3，不难发现，如果我们可以不断地把指数进行拆分，这样就简化了运算的步骤，从而实现了缩短时间的目的。

指数为奇数和指数为偶数的不同情况

当指数为偶数的时候较为简单，每一次都将指数拆分（也就是把指数/2），当指数为奇数，或者拆分后指数为奇数时，再将结果乘以底数即可。

如图所示，以3^100的拆分为例子。

快速幂的解法（递归版）

经过上面的图片我们不难发现，经过拆分，最后都可以变为底数^1，因此，我们可以设计一个递归函数，当指数为1的时候，返回值为本身，如果大于1，就返回拆分后的结果。这样一来就实现了快速幂算法的实现。

取模运算

当然我们掌握了快速幂的求解之后，还要掌握的就是取模运算
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p

代码部分

有了以上的知识基础知识，我们就可以进行代码部分的编写在这离我们运用Java语法进行编写

import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in=new Scanner(System.in);
long a,b,p;
a=in.nextLong();
b=in.nextLong();
p=in.nextLong();
long ans=f(a,b,p);
ans=ans%p;
System.out.println(ans);
}
private static long f(long m,long n,long t) {//
if(n==0)
return 1;
long c=f(m,n/2,t)%t;
if(f1(n)==1)
return cc%tm%t;
return c*c%t;
}
private static long f1(long n) {
if(n%2=0)
return 0;
else
return 1;
}
}