图论-1讲课总结

图论-1主要讲了一下内容：

1.单源最短路径dij，多源最短路径floyd，负权图spfa

2.最小生成树 Prime，Kruskal

3.二分图，最小点覆盖，最大独立集

4.割点，割边。

下面就来详细写一下个部分内容，以免混淆。

一. 最短路径

1.首先是单源最短路径（无负权）的Dijskatra算法，该算法是基于贪心思想的，算法思想如下：
我们定义一个点集S，距离dis[]。点集S初始只有源点，dis[]初始化成源点到其他节点的距离。算法思想就是每次找到未加入S中的dis[]中的最小值，将其加入S中同时维护dis[]数组。就相当于把加入S点集中的点缩成一个点，就有相当于源点是的情况啦。这就是他的最有子结构与贪心策略。

Step1：初始化dis[]数组，源点加入S

Step2：查询不在S中且dis[]最小的

Step3：根据新加入的点更新dis

Step4：如果还有未加入S中的点，鸡血Step2.

下面给出邻接表的实现

#define INF 0xffffffff
const int MAXN=1000;        ///MAXN是节点的数目
typedef struct{
    int to,cost;
}node;
vector Grap[MAXN];     ///Grap[i]中存储的是i的邻接表。
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];

void Dij(int s){///源点是s
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=0;idis[j]&&!vis[j]){
                pos=j;
                Min=dis[j];
            }
        }
        vis[pos]=1;
        for(int j=0;j

2多源最短路径floyd

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设D_i,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则D_i,j,k = D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1}；
2. 若最短路径不经过点k，则D_i,j,k = D_{i,j,k − 1}。

因此，D_i,j,k = min(D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1},D_{i,j,k − 1})。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。（见下面的算法描述）

Floyd-Warshall算法的描述如下：

for k ← 1 to n do
  for i ← 1 to n do
    for j ← 1 to n do
      if (Di,k + Dk,j < Di,j) then
        Di,j ← Di,k + Dk,j; 

其中D_i,j表示由点i到点j的代价，当D_i,j为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。 

下面是代码实现：

for ( int k = 0 ; k < n ; k++ )
           for ( int i = 0 ; i < n ; i++ )
               for  ( int j = 0 ; j < n ; j++ )
                       dis[i][j] = min ( dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j] );

3.对负权图的单源最短路径SPFA

int spfa_bfs(int s)
{
    queue  q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    q.push(s);  vis[s]=1; c[s]=1;
    //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
    int OK=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x;
        x=q.front(); q.pop();  vis[x]=0;
        //队头元素出队，并且消除标记
        for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表
        {
            int y=v[k];
            if( d[x]+w[k] < d[y])
            {
                d[y]=d[x]+w[k];  //松弛
                if(!vis[y])  //顶点y不在队内
                {
                    vis[y]=1;    //标记
                    c[y]++;      //统计次数
                    q.push(y);   //入队
                    if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限，说明有负环
                        return OK=0;
                }
            }
        }
    }

    return OK;

}

二.最小生成树

1.最小生成树的Prime算法

Prime算法也是基于贪心的思想，和dij很想，不过不同的是dis维护的是做过的路径长度最短，Prime算法维护的是加入的单个边的长度最短。

2最小生成树的Kruskal算法

Kruskal相当于贪心加上并查集的一种实现

对边的长度进行排序，然后依次检索每一条边，如果当前检索的边不在同一个连通分量里，就把这条边加入，将他们合并在一起，依次进行这个操作。

三.二分图