函数与极限(一)

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有理数和无理数

有理数是指两个整数的比。有理数是整数和分数的集合。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数,有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合,而有理数则为有理数集中的所有元素。

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

自然对数

自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N>0)。在物理学,生物学等自然科学中有重要的意义。一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。

e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数。以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”。

基本初等函数

高等数学将基本初等函数归为五类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

幂函数
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( α为常数,且可以是自然数、有理数,也可以是任意实数或复数。)

指数函数
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对数函数
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三角函数

正弦函数 :y =sinx

余弦函数:y =cos x

正切函数 :y =tan x

余切函数 :y =cot x

正割函数:y =sec x

余割函数 :y =csc x

反三角函数

反正弦函数:y = arcsin x

反余弦函数:y = arccos x

反正切函数:y = arctan x

反余切函数:y = arccot x

反正割函数:y = arcsec x

反余割函数:y = arccsc x

基本初等函数中的反函数

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初等函数

初等函数是由幂函数、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。


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例如:


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注意:分段函数不是初等函数

数列极限

数列极限的描述:


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数列极限的定义:

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数列极限的相关引进符号
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课后作业:例1,例3

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收敛数列的性质

唯一性
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证明:

有界性
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注意:其中的两个推论。

保号性
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推论(反证法):


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数列与其子数列的关系

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判断数列发散的方法
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参考

基本初等函数
初等函数
有理数
无理数
同济大学高数公开课

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