基于快排的快速选择算法

基于快排的快速选择算法

1. 问题

   最近做到一个经典的leetcode题目，由于分类在“分治算法”标签中，故思考用分治的思想解决，题目如下，

   剑指offer40.最小的k个数

   输入整数数组 arr ，找出其中最小的 k 个数。例如，输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。

   示例 1：

   输入：arr = [3,2,1], k = 2 输出：[1,2] 或者 [2,1]

   示例 2：

   输入：arr = [0,1,2,1], k = 1 输出：[0]

   本题有三种解法，分别是简单粗暴的排序然后取前k个数，基于堆排序的一种改进算法，以及本文所讲的快速选择算法。第一种方法实际上是将数组中的所有元素先排序，然后取前k个，但是我们想真的有必要将所有元素一次性的进行排序吗？我们只需要知道最小的k个元素即可，所以我们是否可以对部分元素进行排序，然后判断再对部分元素进行排序，一旦达到我们的目标（已经筛选出k个元素了），全身而退。理论上这是要比一次性排序所需的时间少得多的。第二种和第三种方法都带有这类思想。

2. 回忆快速排序

   在快排中也是运用了分治的思想，每一次排序中，我们会在数组中选择一个元素作为枢轴（可以理解为杠杆点，一般选择数组第一个点，当然也可以随机选择），通过双指针low,high将比这个枢轴元素小的元素放在它的左侧，比它大的元素放在它的右侧。这样就完成了一次初步的排序，以这个枢轴为中心点可以划分成左右两块，左边的元素都比枢轴小，右边的元素都比枢轴大。进而对左右两个子数组再次进行以上的步骤，这也体现了分而治之的思想。具体过程看下图，

   

快速排序核心代码如下，

 while(lo < hi){
            while(lo= pivotkey)hi--;
            arr[lo] = arr[hi];
            while(lo

1. 快速选择的原理

   快速选择就是在上述基础上进行改造的，我们可以看到，上图中已经通过一个杠杆点将数组分成了左右两块，称为左块和右块，左块的元素肯定比杠杆点小或等于，那么因为题目中是要求我们选取最小的k个点，我们假设k等于4，那么上图中已经达到了我们的目标，直接返回杠杆点的下标即可。也就是low+1-start == k即返回low，其中start为low刚进来的值，因为low的初值不一定都是0，用lo+1-start表示左块的元素个数。

   下面考虑若low-start+1 < k，这说明左块的元素数量还不够，但是左块中的元素和杠杆点肯定已经是最小k个元素中的了，所以我们只需要递归一次，对lo+1，nums.size()-1区间上的元素再找出 k-(low+1-start),就可以返回这个区间上的杠杆点的坐标即为最终的结果。

   若low-start+1 > k,这说明左块的元素太多了，那么我们就可以完全舍弃右块，在区间start,lo-1上找到k个最小元素即可。

   这有点像一种变相的分治，即分完之后并不对每一个块进行治理，而是有选择的进行治理。

2. 快速选择的代码实现

int Partition(vector& arr,int lo,int hi,int k){
        if(hi - lo + 1 == k )return hi;    //注意：若传进来区间的长度已经等于k了，那么没必要快排了，直接返回即可。
        int start = lo;    //不然很难选中一个刚刚好的杠杆点，从而会造成反复横跳的情况。
        int pivotkey = arr[lo];
        while(lo < hi){        //快排核心代码
            while(lo= pivotkey)hi--;
            arr[lo] = arr[hi];
            while(lo