高数学习笔记7——什么是微分

何为微分？

    微分其实是对函数的一种线性表示吧。在自变量足够小的时候，用在反应值时如何改变的。

    （以我的理解来说微分其实就是在自变量变化极小的区间内，用线性函数表示非线性函数，用一种简单的函数在误差允许的范围内（无穷小部分）取代复杂函数）

    关于微分的函数形式可以分为两部分：

        第一部分（线性部分）：在一维情况下，表示为自变量的变化率只与和有关量的乘积。

        第二部分（非线性部分）：是比自变量的变化率更高阶的无穷小部分，也就是说，当自变量的变化率极小时，可以忽略不计。

        函数的变化率约等于第一部分，也就是函数在处的微分。

一元微分

设函数在区间内有定义。对于内任意一点，当移动到(也在此区间内)，函数的增量为,可表示为。

    Ⅰ、。

    Ⅱ、为高阶无穷小，忽略不计。也就是坐标系中，在处，黄色曲线与蓝色曲线之间的部分。

微分与导数的关系

虽然导数和微分是两个概念，但对一元函数来说，两者可以划等号。

    微分中无穷小忽略以后，微分和无穷小都可以用 “ ”在表示，所以二者可以划等号。

关于的计算

    ,是的导函数。

    如：。

复合函数的微分法则

设 y=f(u), u=g(x)都可导，则复合函数  的微分为：

dy = f[ g(x) ]'dx = f’(u)g’(x)dx