用初中数学破解:2021年八省联考立体几何大题

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大兴机场

2021年八省联考题20

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 .

(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2,证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.

【解答第1问】
四棱锥有5个顶点和5个面,其中1个四边形,4个三角形,其面角总和 =
总曲率=

【解答第2问】


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2021年八省联考

如图所示,对于平面上的n边形,在多边形内任取一点Q,可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度,所以,这些三角形的内角之和等于:; 由于在点Q处还有一个 角,所以,n边形的内角之和等于: ,也就是: .

对于多面体的每个面依法炮制,可得三角形的数量 = 棱数 × 2
可得 角的数量 = 面数

按照曲率公式,
总曲率 = 顶点数 - (棱数 - 面数 ) = (顶点数-棱数+面数)

证明完毕.

【回归教材】
多边形的内角和是几何学的一个基本问题,人教版《数学-八年级上册》(第21页)第11章 §11.3.2 的标题即为:《多边形的内角和》
可见,本题考查的属于:基本概念和基本方法。

【提炼与提高】
为什么有好多学生感觉这个题很难?原因在于:它太基本了,在经过大量的、重复性的机械的训练之后,学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题,就无从下手。
为了成功解答本题,考生要过几关:
1)读懂题目,关键是在几分钟内理解一个新的概念:多面体的曲率。
2)掌握多边形内角和公式的推导过程,而不仅仅是结论。
3)经过观察和归纳,得出结论:三角形的数量=棱数×2. 这点并不难,但现实中就是有人做不到。


多年来,中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向:专家们不断强调数学思想和方法;中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。

八省联考数学卷,向大家传递了这样一个信号:命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下,加强对于学生能力的考查,是完全可以做到的。

对于备考的学生和教师来说,我的建议是:
1)多思考,多总结;切忌盲目做题。
2)花点时间读读教科书,包括初中和高中的教科书,会用到的。


北京大兴机场

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