排序算法之堆排序

介绍

堆排序是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，堆是一个近似完全二叉树的数据结构，并同时满足堆积的性质：即子节点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

1. 二叉树：二叉树是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。
2. 满二叉树：二叉树的第 i 层至多拥有 2^(i-1) 个节点；深度为 k 的二叉树至多总共有 2^(k+1) - 1 个节点，而总计拥有节点数匹配的，称为满二叉树。
3. 完全二叉树：深度为 k 有 n 个节点的二叉树，当且仅当其中的每一节点，都可以和同样深度 k 的满二叉树，序号为 1 到 n 的节点一对一对应时，称为完全二叉树

通常堆是通过一维数组来实现存储的。在数组起始位置为0的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置(2i+1) ;
• 父节点i的右子节点在位置(2i+2);
• 子节点i的父节点在位置floor((i-1)/2) ;

步骤

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
• 创建最大堆（Build Max Heap）：将堆中的所有数据重新排序
• 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

演示

Sorting_heapsort_anim.gif

复杂度

最坏时间复杂度：O(nlog n)
最优时间复杂度：O(nlog n)
平均时间复杂度：O(n*log n)
最坏空间复杂度：O(n)，需要辅助空间O(1)

python

def heap_sort(lst):
    def sift_down(start, end):
        """最大堆调整"""
        root = start
        while True:
            child = root * 2 + 1 # 左孩子
            if child > end:
                break
            if child + 1 <= end and lst[child] < lst[child + 1]: # 在左右孩子中找最大的
                child += 1
            if lst[root] < lst[child]: # 把较大的子结点往上移动,替换它的父结点
                lst[root], lst[child] = lst[child], lst[root]
                root = child
            else: # 父子节点顺序正常 直接过
                break
    # 创建最大堆
    for start in range(len(lst) // 2 - 1, -1, -1):
        # 从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
        sift_down(start, len(lst) - 1)
    # 堆排序
    for end in range(len(lst) - 1, 0, -1):
        lst[0], lst[end] = lst[end], lst[0] # 将堆顶元素与末尾元素进行交换
        sift_down(0, end - 1) # 重新调整子节点的顺序  从顶开始调整
    return lst

l = [9, 2, 1, 7, 6, 8, 5, 3, 4]
print(heap_sort(l))

java

    private static int leftChild(int i) {
        return 2 * i + 1;
    }
    private static > void swap(AnyType[] b, int j, int i) {
        AnyType tmp;
        tmp = b[i];
        b[i] = b[j];
        b[j] = tmp;
    }
    private static > void percDown(AnyType[] a, int i, int n) {
        int child;
        AnyType tmp;
        for(tmp = a[i]; leftChild(i) < n; i = child) {
            child=  leftChild(i);
            if(child != n - 1 && a[child].compareTo(a[child + 1]) < 0)
                child++;
            if(tmp.compareTo(a[child]) < 0)
                a[i] = a[child];
            else
                break;
        }
        a[i] = tmp;
    }
    public static > void heapsort(AnyType[] a) {
        for(int i = a.length / 2 - 1; i >= 0; i--)
            percDown(a, i, a.length);
        for(int i = a.length - 1; i > 0; i--) {
            swap(a, 0, i);
            percDown(a, 0, i);
        }
    }