第5章 Python 数字图像处理(DIP) - 图像复原与重建16 - 约束最小二乘方滤波、几何均值滤波
标题
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- 约束最小二乘方滤波
- 几何均值滤波
约束最小二乘方滤波
F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + γ ∣ P ( u , v ) ∣ 2 ] G ( u , v ) (5.89) \hat{F}(u,v) = \bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \gamma |P(u,v)|^2} \bigg]G(u,v) \tag{5.89} F^(u,v)=[∣H(u,v)∣2+γ∣P(u,v)∣2H∗(u,v)]G(u,v)(5.89)
P ( u , v ) 为 函 数 p ( x , y ) = [ 0 − 1 0 − 1 4 − 1 0 − 1 0 ] P(u,v) 为函数 p(x, y) = \begin {bmatrix}0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end {bmatrix} P(u,v)为函数p(x,y)=⎣⎡0−10−14−10−10⎦⎤的傅里叶变换
我们认为这个函数是一个拉普拉斯核，注意式中在 γ = 0 \gamma = 0 γ=0时会简化为逆滤波。
函数 P ( u , v ) 和 H ( u , v ) P(u,v)和H(u,v) P(u,v)和H(u,v)的大小必须相同。意味着 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)必须嵌入 M M M x N N N 零阵列的中心。为保持 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)的偶对称， M M M 和 N N N必须是偶整数。如果由其获得 H H H的一幅已知退化图像不是偶数维的，则在计算 H H H之前需要酌情删除一行和/或一行，以便可以使用
def least_square_filter(image, PSF, eps, gamma=0.01):
"""
least square filter for image denoise, math:
$$\hat{F}(u,v) = \bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \gamma |P(u,v)|^2} \bigg]G(u,v)$$
param: image: input image
param: PSF: input the PSF mask
param: eps: epsilon
param: gamma: gamma value for least square filter fuction
return image after least square filter
问题：为什么改变gamma值结果也没有变化
"""
fft = np.fft.fft2(image)
PSF_fft = np.fft.fft2(PSF)
conj = PSF_fft.conj()
# abs_conj = np.abs(PSF_fft) ** 2
abs_conj = (PSF_fft * conj).real
huv = conj / (abs_conj + gamma * abs_conj)
result = np.fft.ifft2(fft * huv)
result = np.abs(np.fft.fftshift(result))
return result, abs_conj
# 约束最小二乘方滤波
image = cv2.imread("DIP_Figures/DIP3E_Original_Images_CH05/Fig0526(a)(original_DIP).tif", 0)
PSF = get_motion_dsf(image.shape[:2], -50, 100)
blurred = make_blurred(image, PSF, 1e-5)
wiener = wiener_filter(blurred, PSF, 1e-5, K=0.03)
least_square, abs_con = least_square_filter(blurred, PSF, 1e-5, gamma=1e-6)
least_square = np.uint8(normalize(least_square) * 255)
img_diff = image - least_square
plt.figure(figsize=(15, 5))
plt.subplot(131), plt.imshow(blurred, 'gray'), plt.title("Motion blurred"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132), plt.imshow(wiener, 'gray'), plt.title("Wiener Filter"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133), plt.imshow(least_square, 'gray'), plt.title("Least Square Filter"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.tight_layout()
plt.show()
几何均值滤波
F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 ] α [ H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + β [ S η ( u , v ) S f ( u , v ) ] ] 1 − α G ( u , v ) (5.99) \hat{F}(u,v) = \bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2}\bigg]^\alpha \Bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \beta \big[\frac{S_{\eta}(u,v)}{S_f(u,v)} \big]}\Bigg]^{1-\alpha} G(u, v) \tag{5.99} F^(u,v)=[∣H(u,v)∣2H∗(u,v)]α[∣H(u,v)∣2+β[Sf(u,v)Sη(u,v)]H∗(u,v)]1−αG(u,v)(5.99)
α 和 β \alpha 和 \beta α和β 是非负的实常数。
当 α = 1 \alpha=1 α=1时，几何均值滤波器简化为逆滤波器；当 α = 0 \alpha=0 α=0时，几何均值滤波器变为参数维纳滤波器，参数维纳滤波器在 β = 1 \beta=1 β=1时简化为标准维纳滤波器；当 α = 1 / 2 \alpha=1/2 α=1/2时几何均值滤波器变成幂次相同的两个量的乘积，这就是几何均值的定义。
β = 1 \beta=1 β=1而 α \alpha α大于1/2时，滤波器更的性能更像逆滤波器。
α \alpha α 小于1/2时，滤波器的性能更像维纳滤波器。
α \alpha α 等于1/2且 β = 1 \beta=1 β=1时，滤波器通常称为频谱均衡滤波器。
def geometric_mean_filter(image, PSF, eps, K=1, alpha=1, beta=1):
"""
geometric mean filter for image denoise, math:
$$\hat{F}(u,v) = \bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2}\bigg]^\alpha
\Bigg[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \beta \big[\frac{S_{\eta}(u,v)}{S_f(u,v)} \big]}\Bigg]^{1-\alpha} G(u, v) $$
param: image: input image
param: PSF : input the PSF mask
param: eps : epsilon
param: K : K equal to math: \frac{S_{\eta}(u,v)}{S_f(u,v)}
param: alpha: alpha value for filter fuction
param: beta : beta value for the filter fuction
return image after least square filter
"""
fft = np.fft.fft2(image)
PSF_fft = np.fft.fft2(PSF)
conj = PSF_fft.conj()
abs_square = (PSF_fft * conj).real
huv = np.power(conj / (abs_square), alpha) * np.power(conj / (abs_square + beta*(K)), 1 - alpha)
result = np.fft.ifft2(fft * huv)
result = np.abs(np.fft.fftshift(result))
return result
#### 几何均值滤波器
image = cv2.imread("DIP_Figures/DIP3E_Original_Images_CH05/Fig0526(a)(original_DIP).tif", 0)
PSF = get_motion_dsf(image.shape[:2], -50, 100)
blurred = make_blurred(image, PSF, 1e-5)
wiener = wiener_filter(blurred, PSF, 1e-5, K=0.03)
geometric_mean = geometric_mean_filter(blurred, PSF, 1e-5, K=1, alpha=1/2, beta=0)
geometric_mean = np.uint8(normalize(geometric_mean) * 255)
plt.figure(figsize=(14, 5))
plt.subplot(131), plt.imshow(blurred, 'gray'), plt.title("Motion blurred"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132), plt.imshow(wiener, 'gray'), plt.title("Wiener Filter"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133), plt.imshow(geometric_mean, 'gray'), plt.title("Geometric mean Filter"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.tight_layout()
plt.show()
