逆函数求导公式_反三角函数求导公式的*1

一、反函数的导数

设x

在间ix假定x=ϕ(y)在iy内单调、可导，而且ϕ'(y)≠0，则反函数y=f(x)=ϕ(y)是直接函数，y=f(x)是它的反函数，={x|x=ϕ(y),y∈iy}内也是单调、可导的，而且f'(x)=1ϕ'(y)*：∀x∈ixx，给

于是x以增量x(x≠0,x+x∈ix)由y=因直接函数xf(x)在ix上的单调性可知y=f(x+x)-f(x)≠0xy1=xy=ϕ(y)在iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数y=f(x)在ix上也是连续的，

当x→0时，必有y→01∆y11即：f'(x)==lim=x→0∆xx→0yϕ'(y)ϕ'(y)

xlim

【例1】试*下列基本导数公式

(1)(arcsinx)'=(2)(arctanx)'=11+x2(3)(logax)'=1xlna

*1、设x=siny为直接函数，y=arcsinx是它的反函数函数x=siny在iy=(-

有(arcsinx)'==(-1,1)上，ππ,)上单调、可导，且x'=cosy≠022因此，在ix1cosy注意到，当y∈(-ππ,)时，cosy>

0，cosy==22

因此，

(arcsinx)'=

*2设x

1,)则y=arctanx,ix=(-∞,+∞)x=tany在iy上单调、可导且x'=>0故222cosy111(arctanx)'==cos2y==(tany)'1+tan2y1+x2=tany，iy=(-ππ

*3(logax)'=11=(ay)'aylna

类似地，我们可以*下列导数公式：

(arosx)'=(arctanx)'=-11+x2(lnx)'=1x

二、复合函数的求导法则

如果u=ϕ(x)在点x0可导，而y=f(u)在点u0=ϕ(x0)可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x0可导，且导数为dy=f'(u0)∙ϕ'(x0)dxx=x0

*：因u→∞lim=f'(u0)，由极限与无穷小的关系，有y=f'(u0)u+αu(当u→0时，α→0)

用x

由u≠0去除上式两边得：dyuu=f'(u0)∙+αdxxx,=ϕ(x)在x0的可导性有：x→0⇔u→0limα=limα=0

x→∞u→∞

∆y∆u∆u∆u∆u=lim[f'(u0)∙+α]=f'(u0)∙lim+limα∙limx→∞∆xx→∞x→0∆xx→0x→0∆x∆x∆xlimdy=f'(u0)∙ϕ'(x0)dxx=x0

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u=ϕ(x)在开区间ix可导，y=f(u)在开区间iu可导，且∀x∈ix时，对应的

dydydu=∙(2)u∈iu，则复合函数u=f[ϕ(x)]在ix内可导，且dxdudx

y=f{φ[ϕ(x)]}，求

引入中间变量，设v

变量关系是【例2】dydx=φ(x),u=ϕ(v)，于是y=f(u)y-u-v-x，由锁链规则有：

dydydudv=∙∙dxdudvdx

【例3】求y=sin2x的导数dy。dx

解：设u=2x，则y=sinu，u=2x：

dydydu=∙=(sinu)'∙(2x)'=2cos2xdxdudx

【例4】设y=lntgxdy，求。2dx

y'=11∙=2sinxtgcos2

22∙

u11【例5】*幂函数的导数公式(x)'=uxu-1，(u为实数)。1=uxu-1x*：设y=xu=eulnxy'=eulnx(ulnx)'=eulnx∙u∙