三种算法求解一个数组的子数组最大和

题目：要求一个数组连续下标和的最大值，数组的元素可正、可负、可为零，例如-2，5，3，-6，4，-8，6将返回8。

这题是很经典的一道面试题，也有各种解法，从算法分析上，时间复杂度也有很大差别，下面我就给出三种不同的解法。

方法一：暴力枚举法
此种方法最简单，我想应该也是每个人拿到题目想到的第一种解法了，学过一点编程的人都应该能编出此类程序。
记sum[i..j]为数组中第i个元素到第j个元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通过遍历所有的组合之和，就能找到最大的一个和了。
伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int n) {
    int maxium = -INF; //保存最大子数组之和
    for i=0 to n-1 do
        sum = 0; //sum记录第i到j的元素之和
        for j=i to n-1 do
            sum += A[j];
        if sum>maxium do //更新最大值
            maxium = sum;
    return maxium;
}

此种方法的时间 复杂度为O(n2)，显然不是一种很好的办法，也不是公司面试希望你写出这样的程序的。

方法二：分支界定
这里再介绍一种更高效的算法，时间 复杂度为O(nlogn)。这是个分治的思想，解决复杂问题我们经常使用的一种思维方法——分而治之。
而对于此题，我们把数组A[1..n]分成两个相等大小的块：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子数组只可能出现在三种情况：
    A[1..n]的最大子数组和A[1..n/2]最大子数组相同；
    A[1..n]的最大子数组和A[n/2+1..n]最大子数组相同；
    A[1..n]的最大子数组跨过A[1..n/2]和A[n/2+1..n]
前两种情况的求法和整体的求法是一样的，因此递归求得。
第三种，我们可以采取的方法也比较简单，沿着第n/2向左搜索，直到左边界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么总的最大和就是maxleft+maxright。
而数组A的最大子数组和就是这三种情况中最大的一个。
伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int l,int r) {
    if l<r do
        mid = (l+r)/2;
        ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治
        mr = maxSubArray(A,mid+1,r);
        for i=mid downto l do
            search maxleft;
        for i=mid+1 to r do
            search maxright;
        return max(ml,mr,maxleft+maxright); //归并
        then //递归出口
            return A[l];
}

方法三：动态规划
这算是一个经典的动态规划的题目了，如果不知道动态规划可以先不去理解这个名词。用通俗点的语言描述这个算法就是：
令cursum(i)表示数组下标以i为起点的最大连续下标最大的和，而maxsum(i)表示前i个元素的最大子数组之和。那么我们就可以推出下一个maxsum(i+1)应该为cursum(i+1)和maxsum(i)中选取一个最大值。递推式为：
cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};
maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};
伪代码为：

int maxSubArray(int *A,int n) {
    cursum = A[0];
    maxsum = A[0];
    for i=1 to n-1 do
        /*当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。*/
        if cursum<0 do
            cursum = 0;
        cursum += A[i];
        if cursum>maxsum do
            maxsum = cursum;
    return maxsum;
}

这种算法时间复杂度只是O(n)，效果非常好！
具体实现代码如下：

#include <iostream>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using  namespace std;

const  int INF= 0x7fffffff;
int max_sub_array( int arr[], int n, int &left, int &right)
{
     int maxium=-INF;
     int sum;
     for( int i= 0;i<n;i++){
        sum= 0;
         for( int j=i;j<n;j++){
            sum+=arr[j];
             if(sum>maxium){
                maxium=sum;
                left=i;
                right=j;
            }
        }
    }

     return maxium;
}
int max_sub_array( int arr[], int l, int r, int &left, int &right)
{
     if(l<r){
         int mid=(l+r)/ 2;
         int ll,lr;
         int suml=max_sub_array(arr,l,mid,ll,lr);
         int rl,rr;
         int sumr=max_sub_array(arr,mid+ 1,r,rl,rr);
         int sum_both= 0;
         int max_left=-INF;
         int ml,mr;
         for( int i=mid;i>=l;i--)
        {
            sum_both+=arr[i];
             if(sum_both>max_left){
                max_left=sum_both;
                ml=i;
            }
        }
         int max_right=-INF;
        sum_both= 0;
         for( int i=mid+ 1;i<=r;i++)
        {
            sum_both+=arr[i];
             if(sum_both>max_right){
                max_right=sum_both;
                mr=i;
            }
        }
        sum_both=max_left+max_right;
         if(suml<sumr) {
             if(sumr<sum_both) {
                left=ml;
                right=mr;
                 return sum_both;
            }
             else {
                left=rl;
                right=rr;
                 return sumr;
            }

        }
         else{
             if(suml<sum_both) {
                left=ml;
                right=mr;
                 return sum_both;
            }
             else {
                left=ll;
                right=lr;
                 return suml;
            }

        }
    }
     else {
        left=l;
        right=r;
         return arr[l];
    }
}
int max_sub_array_( int arr[], int n, int& left, int&right)
{
     int cursum=arr[ 0];
     int maxsum=arr[ 0];
     int pos= 0;
    pos= 0;
     for( int i= 1;i<n;i++) {
//         if(cursum<0)
//             cursum=0;
        cursum+=arr[i];
         if(cursum<arr[i])
        {
            pos=i;
            cursum=arr[i];
        }
         if(cursum>maxsum)
        {
            maxsum=cursum;
            left=pos;
            right=i;
        }
    }
     return maxsum;

}
void test1()
{
     int arr[]={- 2, 5, 3,- 6, 4,- 8, 6};
     int len= sizeof(arr)/ sizeof(arr[ 0]);
     int left,right;
     int sum;
    cout<< " arr: ";
    copy(arr,arr+len,ostream_iterator< int>(cout,  "   "));
    cout<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method1:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr, 0,len- 1,left,right);
    cout<< " method2:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method3:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;

}
void test2()
{
     const  int LEN= 10;
     int arr[LEN];
     int sign[LEN];
    srand(time( 0));
     for( int i= 0;i<LEN;i++){
         int val=rand()% 1000;
         if(val% 2== 0)
            sign[i]= 1;
         else
            sign[i]=- 1;
    }
     for( int i= 0;i<LEN;i++){
         int val=rand()% 100;
        arr[i]=val*sign[i];
    }
     int left,right;
     int sum;
     int len=LEN;
    cout<< " arr: ";
    copy(arr,arr+len,ostream_iterator< int>(cout,  "   "));
    cout<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method1:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr, 0,len- 1,left,right);
    cout<< " method2:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method3:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;


}
int main()
{
    test2();
}

 其中test1函数是题目给出的数组测试，test2是进行随机产生数来测试。

大致的效果如下：

test1测试：

 

test2测试：

 

 

参考：http://www.cnblogs.com/hazir/archive/2011/05/08/2447289.html