逆采样和拒绝采样

1 逆采样

当pdf函数已知，可以通过对pdf函数积分求出cdf，再根据cdf的反函数进行采样即可，此种情况下要求pdf是可积的。

先来了解一下 pdf cdf的基本知识：
对于随机变量 $X$，如下定义的函数 $F$
$$F(x)=P_r\{X\le x\},-\infty <x<\infty$$
称为 $X$ 的累积分布函数（CDF，Cumulative Distribution Function）。
对于连续型随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F(x)$ ，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 $f(x)$ ，使得对于任意实数 $x$ ，有下式成立：
$$F(x)={\int }_{\infty }^{\infty }f(t)dt$$
则称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数（PDF，Probability Density Function）。显然，当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。

逆变换方法包括首先选择在 $[0,1]$ 均匀分布的的随机变量 $U$ ，然后找到 $Y$ 的值，使 $F(Y)=U$ 也就是

$$Y=F^{-1}(U)$$

其中 $F^{-1}$ 表示 $F$ 的反函数，这个过程如下图表示

在这里最主要的问题就是证明 [公式] 的分布必须是符合我们概率分布函数的，证明如下:
$P_r\{Y<y\}=P_r\{F(Y)\le F(y)\}$
$=P_r\{U\le F(y)\}$
$=F(y)$

2 拒绝采样

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/61611088