你有一个朋友,叫卷积

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番外：今天学习了信号与系统中线性时不变系统分析方法,其中利用到了卷积来求解,老师的讲解令人费解,再加之卷积大概很多人复变都没有好好学,新开学又都已经忘光了,想必学起来也十分痛苦.
午时为朋友庆生,灵光乍现,经细细思考,创作图文素材,遂出此文

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提示：以下是本篇文章正文内容,仅供参考

从鲜花凋谢开始

• 通俗而言,卷积就是一种运算,与加减乘除本质上没啥区别
• 运算的特点
• 抽象,符号化,广泛运用在生活以及科研中
  譬如加法的运用,可以是买菜,也可以是xxxx的合成…
  
• 但是由于卷积涉及到了积分,加之在不同领域,不同老师的讲法都不同,卷积小朋友被无辜的蒙上了难看的面纱

鲜花凋谢的故事

开春了,花儿开始绽放自己的美.与此同时,有一些花儿,要凋谢了.

• 我们假设花绽放的速度为f(x),凋谢的速度为g(x)
• 那么一天时间内,花绽放的数量为

$${\int }_0^{24}f(x)dx$$
我们想一想,很简单,第一个小时绽放的花,一天后会经历24小时的凋谢,第二个小时绽放的花会经历23小时的凋谢…积分表示如下
$${\int }_0^{24}f(t)g(24-t)dt$$
这就是连续函数的卷积

一、如何理解卷积

到这里就需要有一定专业基础的友友们看啦

卷就是把h(x)函数翻转过来变成h(-x),就像你把你的毛巾从右边折到左边
积就是两个函数点对应相乘并相加.
我们在信号与系统的信号分析中,进行更深入的理解.

二、卷积在信号与系统中的应用

1.意义

还记的老师上课所说的线性时不变系统的特征吗,我们来一一对应一下

• 时不变性质 ------ 卷
• 均匀性质 ------ 对应的点分别相乘
• 积分性质 ------ 做完乘积的点相加,成为一个新的函数
  本质上,就是两个函数中,将其中一个函数翻转,并滑动相乘,叠加

整体看来是这么个过程：

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加…

多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

2.图解

首先我们有一个输入信号f(t),一个系统响应(怎么求是另一个事了)g(t)

• 图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)
  
• ​​考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都有新的信号进来，所以，最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。
• f(10)因为是刚输入的，所以其输出结果应该是f(10)g(0)，而时刻t=9的输入f(9)，只经过了1个时间单位的衰减，所以产生的输出应该是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加，就是T=10时刻的输出信号值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值.
  
• 上面的对应关系十分的难看,是拧着的,所以我们将函数翻转一下,移动到了左边,这样看起来是不是舒服多了?这就是卷!!!
  -虽然拧过来了,但还是有点难看,我们再挪一下
  
  是不是十分的完美!!!这就是卷积两个信号的全过程,对应这我上述的过程:翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加…
  现在大家对于卷积有没有一个更深刻的理解了呢?

END

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