天道好轮回,傅里叶分析

一,求求了,老师,课本,放过我

首先我不得不说,傅里叶分析是老折磨王了

• 傅里叶分析不过是一种数学的工具,使用它用以解决一系列实际问题.
• 然而,老师,你在干什么?课本,你在干什么?傅里叶变换?傅里叶级数?能用来干什么?
• 不得不说,把知识和现实分离是某些老师和课本的"必修课"[狗头]
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  oh!shit
  不会真的有人喜欢学这种傅里叶吧…
• 这么有趣的东西,搞成这么个鬼玩意儿,实在是令人深恶痛绝.
• 然而,傅里叶变换实际上非常的有趣,它甚至可以颠覆一个人的思维模式,他广泛的应用于各个领域…
• let’go ahead!

二,开场白

开始正文之前还是要在定下一个基调:学习从来不像看电视,玩游戏那么简单,即使我讲的十分有趣[ahhahahahahaha].请读者保持一点耐心,慢慢的读,相信能解决你心中一直存留的疑问,起码比你看书要轻松得多.

三,微信运动带你学频域

• 我们的世界以时间为线,串联起来.
• 你的身高体重,朋友圈子,发量都会随着时间发生变化
• 似乎世界是永远不停的在运动,但从某种意义上来说,世界,是静止的.(当然运动是绝对的,静止是相对的,别xxxxxx)

我是一个喜欢运动的人,在构思这篇文章的时候,我一直在想能用什么样的比喻能够清晰的表达频域和时域之间的关系,然后,我想到了微信运动.

这是我最近的微信运动数据

4.2号的跑步数据

在跑步计数软件中,随着你不断地跑,地图上的路径会随着时间不断地延申,这就是你在时域中的表现.

当我把微信运动里面的数据用离散的图将我们的数据表现出来,我们可以更直观的发现,每一天的跑的步不过就是一个数就能表示

• 所以其实,上面那个有路径的图便是你在时域中运动表示

• 而步数记录,就是你在频域中的路径表示

• 每一天你都会随着时间的推移,产生不同的路径(时域),但是在微信运动中,只有那永恒不变的步数(频域).

• 在数学上并不是很恰当,但是表示的意义十分贴切

• 那么贯穿时域和频域的分析方法,就是傅里叶分析,傅里叶分析包含了傅里叶级数和傅里叶变换,我们慢慢道来

四,傅里叶级数?无限套娃

一说到级数,很多小伙伴估计又要头大了.我们还上图.
我先问问,如果我说我可以用不同的正弦函数叠加出一个矩形函数,你觉得可能吗?

• f(x)=(8 sin(x))/(π)
  

• f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)
  是不是已经有一点矩形的样子了?

• f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)+(8 sin(5 x))/(5 π)
  

• f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)+(8 sin(5 x))/(5 π)+(8 sin(7 x))/(7 π)
  

• 已经很像矩形了吧.不管你信不信,事实就是可以叠加出矩形,只要正弦波函数足够多.

• 你问我要多少?那肯定是无穷多个,上帝创造出了这么好的工具给你用,已经很不错了,你还想洞穿上帝的参数???[狗头]{实际上对应了无穷级数}

五,所以,这就是频域

正弦波

我们先回想一下,正弦波的定义.如果你想不出来,就看这
其实,正弦波就是一条线段在做圆周运动时,对X的投影.

或者像这样(实在是太美了)

坐标系

频域和时域,我们都是用坐标轴构成的坐标系表示的.

• 我们不要太严谨的去构建一下

• 在时域中,我们首先有0,有了最小的量(假如为1),然后才能去表示各种各样的函数

• 那么在频域中,我们用傅里叶级数中频率最小的作为我们1,频率为零我们作为0,于是
  
  实际上,频率为0的也就是我们熟知的直流分量,它只影响全部的波形相对于数轴整体向上或是向下移动.

• 上图也就表示了矩形波在频域和时域中的图像.

• 这一张图,完美的展示了傅里叶级数在时域中的表示,在频域中的表示,以及对应的转换关系,或许,你的教材上,就缺了这么一张图.

前方高能!!!

摘自知乎Heinrich大佬的一点儿鸡汤:
世界上每一个看似混乱的景象
实际都是一条时间轴上不规则的曲线,
但实际上这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成.
我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波时域上的投影,
而正弦波又是一个个旋转的园在直线上的投影.