基本算法思想之递推

分治算法的基本思想是将一个计算复杂的问题分为规模较小，计算简单的小问题求解，然后综合各个小问题，而得到最终问题的答案。分治算法的执行过程如下：

1. 对于一个规模为N的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模N较小），则直接解决，否则执行下面的步骤。
2. 将该分解为M个规模较小的子问题，这些子问题互相独立，并且与原问题形式相同。
3. 递归地解决这些子问题。
4. 然后，将各个子问题的解合并得到原问题的解。
   使用分治算法需要待求解问题能够化简为若干个小规模的相同问题，通过逐步划分，能够达到一个易于求解的阶段而直接进行求解。然后，程序中可以使用递归算法来进行求解。

下面我们通过一个例子来看分治算法具体的应用场景。

一个袋子里有30个硬币，其中一枚是假币，并且假币和真币一模一样，肉眼很难分辨，目前只知道假币比真币轻一点。请问如何区分出假币呢？

下面我们来分析一下问题。可以采用递归分治的思想来求解这个问题，操作步骤如下：

• 首先为每个硬币编号，然后可以将所有的硬币分为两份，放在天平的两边。这样就将区分30个硬币的问题，变为区分两堆硬币的问题。
• 因为假硬币的分量较轻，因此天平较轻一侧中一定包含假硬币。
• 再将较轻一侧中的硬币等分为两份，重复上述做法。
• 直到剩下的两枚硬币可用天平直接找出来假硬币来。

public class Solution {
    static final int MAXNUM = 30;

    public static int FalseCoin(int[] coin, int low, int high) {
        int res = 0;
        int i, sum1, sum2, sum3;
        sum1 = sum2 = sum3 = 0;

        if (low + 1 == high) {
            if (coin[low] < coin[high]) {
                res = low + 1;
                return res;
            } else {
                res = high + 1;
                return res;
            }
        }
        if ((high - low + 1) % 2 == 0) { // n是偶数
            for(i = low; i <= low + (high - low) / 2; ++i) {
                sum1 = sum1 + coin[i]; // 前半段和
            }
            for (i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; ++i) {
                sum2 = sum2 + coin[i]; // 后半段和
            }
            if (sum1 > sum2) {
                res = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
            }
            else if (sum1 < sum2) {
                res = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2);
            } else {

            }
        } else { // n是奇数
            for (i = low; i <= low + (high - low) / 2 - 1; ++i) {
                sum1 = sum1 + coin[i]; // 前半段和
            }
            for (i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; ++i) {
                sum2 = sum2 + coin[i]; // 后半段和
            }
            sum3 = coin[low + (high - low) / 2];
            if (sum1 > sum2) {
                res = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
                return res;
            } else if (sum1 < sum2) {
                res = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2 - 1);
                return res;
            } else {

            }
            if (sum1 + sum3 == sum2 + sum3) {
                res = low + (high - low) / 2 + 1;
                return res;
            }
        }
        return res;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] coin = new int[MAXNUM];
        int i, n;
        int pos;
        System.out.println("分治算法求解假硬币问题！");
        System.out.print("请输入硬币总的个数:");
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        System.out.println("请输入硬币的真假:");
        for (i = 0; i < n; ++i) {
            coin[i] = in.nextInt();
        }
        pos = FalseCoin(coin, 0, n - 1);
        System.out.println("在上述" + MAXNUM + "个硬币中，第" + pos + "个硬币是假的！");
    }
}

递推算法是一种理性思维模式的代表，其根据已有的数据和关系，逐步推导而得到结果。递推算法的执行过程如下：

• 根据已知结果和关系，求解中间结果。
• 判断是否达到要求，如果没有达到，则继续根据已知结果和关系求解中间结果；如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案。

递推算法往往需要用户知道答案和问题之间的逻辑。在许多数学问题中，都有着明确的计算公式可以遵循，因为往往可以采用递推算法来实现。

下面通过一个斐波那契数列来看一下递推的具体应用场景：

如果有一对两个月大的兔子以后每一个月都可以生一对小兔子，而一对新生的兔子出生两个月后才可以生小兔子。也就是说，1月份出生，3月份才可以产仔。那么假定一年内没有兔子死亡事件，那么1年后共有多少对兔子呢？

我们先来分析一下兔子产仔问题。来逐月看一次每月的兔子对数：
第一个月：1对兔子；
第二个月：1对兔子；
第三个月：2对兔子；
第四个月：3对兔子；
第五个月：5对兔子；
......
从上面可以看出，从第3个月开始，每一个月的兔子总对数等于前两个月兔子数的总和。相应的计算公式如下：
第n个月兔子总数Fn = Fn-1 + Fn-2。
这里，初始第一个月的兔子数为：F1 = 1，第二个月的兔子数为F2 = 1。

import java.util.Scanner;

public class Solution {

    public static int fibonacci(int n) {
        int t1, t2;
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        } else {
            t1 = fibonacci(n - 1);
            t2 = fibonacci(n - 2);
            return t1 + t2;
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("递推算法求解兔子产仔问题！");
        System.out.println("请先输入时间：");
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int num = fibonacci(n);
        System.out.println("经过" + n + "月的时间，共能繁殖成" + num + "对兔子！");
    }
}

运行结果