49、【图】N-皇后问题（C/C++版）

题目描述

n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n行，每行输出一个长度为 n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。每个方案输出完成后，输出一个空行。
注意：行末不能有多余空格。输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q…
…Q
Q…
…Q.

…Q.
Q…
…Q
.Q…

方法一：已定结构顺序放置

（1）分析

边界条件：行、列、主对角线、副对角线均只能有一个皇后

由于该题为各种排列的组合情况且可按照某种顺序进行排列，因此可选用DFS算法。

具体思路：从(0,0)出发，按行放置皇后，若选取的下一行中的位置其对应的列、主对角线和副对角线没有其余皇后与之冲突，才进行放置，放置完后，将对应的列、主对角线和副对角线标记为已有皇后。若不满足其上述的任意条件，则再查找下一个位置进行查找。

对主对角线进行分析，

主对角线元素为：A[0][0]、A[1][1]、…、A[2][1]、A[3][2]…

设主对角线上元素的行下标为i，列下标为j，可发现主对角所在下标满足这样一种性质：
i - j = b

其中b为常数。

对副对角线进行分析，

主对角线元素为：A[1][n]、A[2][n-1]、…、A[1][n-1]、A[2][n-2]…

设主对角线上元素的行下标为i，列下标为j，可发现主对角所在下标满足这样一种性质：
i + j = b

其中b为常数。

抽象推广

棋盘中的下标，相当于坐标系下离散化的点。同一斜线上的元素，相当于符合一元线性关系的函数上的值，因此通过确定行和列之间的关系，来得到一个很恒定的常量b。通过设立一个数组A，用其下标来表示不同斜线下对应的常量b，当同一斜线上已有元素时，就让A[b] = 1，进行标记。

在y = x + b这条线上，b = -x + y，为了防止出现负数，将其进行规格化为n - x + y，保证对角线上元素的相对值相同即可。

（2）算法实现

#include <stdio.h>

const int N = 10;
int n;
char g[N][N];       // 存储图中元素
// col[i]: 存储对应列是否已有元素
// dig[i]: 存储主对角线上是否已有元素
// udig[i]：存储副对角线上是否已有元素
bool col[N], dig[N], udig[N];       

void dfs(int u){
     
    if(n == u){
     
        for(int i = 0; i < n; i++)          puts(g[i]);     // 按行输出图
        puts("");
        return ;
    }

    for(int i = 0; i < n; i++){
     
        if(!col[i] && !dig[u + i] && !udig[n - u + i]){
          // 若列、主和副对角线上没有元素，则使用该位置
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dig[u + i] = udig[n - u + i] = true;   // 标记该位置已有元素
            dfs(u + 1);
            col[i] = dig[u + i] = udig[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }

}


int main(){
     
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';

    dfs(0);

    return 0;
}

参考文章：
N皇后

nQueen-采取合适的方法表示主对角线和副对角线