R语言二次规划之quadprog包

二次规划

二次规划是非线性规划中一类特殊的数学规划问题，在如投资组合、约束最小二乘问题中都有应用。二次规划已经成为运筹学，经济数学，管理科学和组合优化科学的基本方法。
二次规划的一般形式：

minxq(x)=12xTDx−dTx+cs.t.ATx≥b0

其中，x为向量，c为标量常数，G为Hessian矩阵，当G为半正定矩阵时，上式为凸二次规划，当G为正定矩阵时，上式为严格的凸二次规划，全局最小值是唯一的，A为约束系数矩阵。

quadprog包

quadprog包是专门解决凸二次规划问题的包，其中的函数为solve.QP.但是该函数只解决严格的凸二次规划问题，求极小值。

solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq=0, factorized=FALSE)
函数参数：
- Dmat: 为Hessian矩阵
- dvec: 为向量，和Dmat相对应
- Amat: 约束的系数矩阵，默认约束为“ ≥ ”
- bvec: 为向量，和Amat相对应
- meq: 表示从哪一行开始Amat矩阵中的约束是等式，默认为0
VALUE:
- solution: 二次规划问题中向量的取值
- value: 标量，二次规划目标函数的取值
- unconstrained.solution: 没有约束条件下向量的取值

R实现

假设一个例子：
要求最小化 Q(x,y)=12(x2+y2)−3x−y ,则
目标函数：

Q(x,y)=12(xy)(1002)(xy)−(31)(xy)+6

约束条件：

x+y≥2−x+2y≥12x−y≥−4

从上式可得：

D=(1002)d=(31)AT=⎛⎝⎜1−1212−1⎞⎠⎟b0=⎛⎝⎜21−4⎞⎠⎟

代码如下：

D <- matrix(c(1,0,0,2),nr=2)
d <- c(3,1)
A <- t(matrix(c(1,-1,2,1,2,-1),nr=3))##函数表达式中为A^T,而在程序中需要输入A。
b0 <- c(2,1,-4)
solve.QP(Dmat = D,dvec = d, Amat = A,bvec = b0)

$solution
[1] 2.0 1.5

$value
[1] -3.25

$unconstrained.solution
[1] 3.0 0.5

$iterations
[1] 2 0

$Lagrangian
[1] 0 1 0

$iact
[1] 2

在约束条件下， x=2.0,y=1.5 ,目标函数最小值为-3.25；在无约束条件下 x=3.0,y=0.5 。