HDU-2063 过山车 二分图匹配

二部图（也叫二分图）概念：

 1．何为二部图 
　　如果V(G)可以分到两个集合X，Y中，且X和Y内部没有G的边．那么图G就是一个二部图（等价于图G是可二顶点着色的）下图便是一个二部图．

　　

2．二部图的性质
　　一个图是二部图当且仅当图G中没有奇环．比如说一个三角形就不可能分成两个部分，并且每个部分内部没有边，但一个正方形就可以．
3．如何得到二部图的每个部分

　　任意选一个顶点，所有到该点距离为偶数的点构成的集合便是G中的一部分，距离为奇数的点为另一部分

4．何为匹配
　　图G的一个匹配是一组没有公共端点的边构成的集合，如（图一）两条黑色的边构成一个大小为２的匹配，三条红色的边构成一个大小为３的匹配．图中的最大匹配数就是３。

该题就是求解一个二分图的最大匹配，判定一个匹配是不是最大匹配就是通过寻找增广路径。如何寻找呢？

假设该题中女生为X部，男生为Y部，定义几个变量，G[u][i]代表u，i两点之间的连接情况，marry[i] 表示Y部中的第i个男生与女生配对情况，visit[i] 表示Y部中第i个男生有没有女生找过，两个数组初始化为0。

在每次寻找增广路径时，我们都将visit[i]重置，因为每次寻找增广路径就是让他们每个男生都有重新选择的机会，然后判定这种新的匹配方式能否产生更多的匹配。 

step1：从一个女生开始，扫描所有在另外一个部分（Y部）与之相连的点，没有边或者已经给过机会的男生（他们或许已经找到新另一半，或者他不愿与前女伴分手）的不予考虑。

　　　　for (int i = 1; i <= N; ++i) {
　　　　　　if (!G[u][i] || visit[i])
　　　　　　　　continue;
　　　　　　......
　　　　} 

step2：两两之间有边，并且第i个男生在这一轮新的配对中暂时没有被女生找到的话（就是step1的if判定失败），那么这个男生就算被女生找过了。

　　　　visit[i] = 1;

step3：现在我们这样来办，如果第i个男生之前没有女生配对的话，那么马上将他们联系起来，因为这必将是新的一对，并且返回1，表示寻找到了增广路径。还有一种情况，那就
　　　　该男生之前有女生配对，那么我们就策划让其以前配对的女生另外找一个男生，这不难实现，再次调用这个函数即可。

　　　　 if (!marry[i] || path(marry[i])) {
　　　　　　marry[i] = u;
　　　　　　return 1;
　　　　}

step4：如果所有的男生由于各种原因都不愿与该女生配对的话，返回0，表示寻找增广路径失败。

      我们调从外部调用这个函数N次（N代表女生的个数），表示每次抱着给这个女生找有好男友的决心，虽然过程中可能会拆散其他对，但我能保证只有当新配对的人数多余上次匹配结果我才这样去做。
　　注意：1.假设是第k次从外部调用该函数的话，执行该函数的过程中一定不会牵涉到第k+1到N号女生的匹配情况，因为我们每次顶多是拆散以前的配对过的女生去完成新匹配。 
　　 　　  2.为什么能保证配对的对数增加呢？如果函数执行成功，我们为第k号女生完成了匹配，并且为所有为之被拆散的女生找到了新的对象，所以匹配数会增加1。

　　一个匹配M是图G的最大匹配当且仅当图G中不存在M-增广路径.　M-增广路径是一条边交替出现在匹配M和不出现在匹配M中的路径，且两个端点没有被M中的边覆盖。若是一个图有M-增广路径，就得到了一个更大的匹配。所谓交替出现在M和不出现在M中的路径就是撮合一对，拆散一对的过程。

 

代码如下：

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define MAXN 505
using namespace std;

int K, M, N, G[MAXN][MAXN];
int marry[MAXN], visit[MAXN];

inline int Max(int a, int b)
{
    return a > b ? a : b;
}

int path(int u)
{
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        if (!G[u][i] || visit[i])
            continue;
        visit[i] = 1;
        if (!marry[i] || path(marry[i])) {
            marry[i] = u;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{ 
    while (scanf("%d", &K), K) {
        int count = 0, a, b;
        memset(G, 0, sizeof (G));
        memset(marry, 0, sizeof (marry));
        scanf("%d %d", &M, &N); 
        for (int i = 0; i < K; ++i) {
            scanf("%d %d", &a, &b);
            G[a][b] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            memset(visit, 0, sizeof (visit));
            if (path(i))
                ++count;
        }
        printf("%d\n", count);
    }
    return 0;
}