多面体欧拉定理推导

多面体欧拉定理推导

只里描述三维情况下对欧拉定理一些思考。

在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：

顶点数-棱长数+表面数=2

连通图上的规律

首先考虑二维平面上，一个连通图的点、边与孔之间的关系。

平面上的一个连通图：

添加点

边中间添加一个顶点时, DE上添加一点G，边会同时增加一条，但孔的数目不变。
边两端添加一个顶点，E外侧添加点H，边会同时增加一条，但孔数目不变。

添加边

连接两个顶点时，顶点数不变，边会增加一条，孔数目的变化要视情况而定。

如果这新加的边横穿一个孔，如连接FB，即把一个孔切成了两个，孔的数目增加一个。
如果这新加的边没有边横穿任何一孔，如连接AH，即自己形成了一个新的孔。
因为如果连接两个顶点都无法形成一个孔的话，意味着在连接两个顶点之前不是一个连通图，所以连接顶点后，必然形成新的孔。

于是有连接两个顶点时，顶点数不变，边会增加一条，孔数目增加一。

规律

任何图可以这样构造，在一个顶点基础上，加顶点，加边。
但这个过程，根据上面的分析，

于是容易推出，
孔数目不变的情况下，点与边的数目之差恒定
点数目不变的情况下，孔与边的数目之差恒定

用V表示点的数目，
用F表示孔的数目，
用E表示边的数目，

于是有V+F-E=C，C为某个常数。

显示一个点的情况下，V=1， E=0， F=0，此时C=1，所以上式可以写成

$$V+F-E=1$$

多面体与连通图

回到欧拉定理，一个多面体是可以将某个面拉伸开到足够大，然后将其它点投射到了这面内的，这个过程除了少了一个面之外，
点边与面的数目是没有变化。投射之后，就形成了一个连通图，多面体的面对应图里面的孔。于是点，边与孔的数目就满足上面的关系，再考虑拉伸损失的一个面，所以其它的关系为：
$$V+F-E=2$$

不借助连通图的方法

另外一种思想就是通过把顶点来合并，把多面体化简成一个可以人工计算点边面数目的简单多面体，比如三棱锥，来得出上述公式。

当合并两个顶点时，至少会造成的影响是，点减少一个，边减少一个。
如果合并的这两个顶点对应的面不只有三个顶点，那合并之后，这个面依然保留，所以面的数目不会变化。
如果对应该的面只有三个顶点，那相当于是把三角形合并成一条边了，结果是点减少一个，条减少两个，面减少一个。
即一样维持V+F-E均衡。
通过这种方式，多面体最后一定能化简成三棱锥。

对于三棱锥，

$$V=4,F=4,E=6$$

所以：
$$V+F-E=2$$