图像旋转平移、仿射变换、透视变换

写在前面

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本文内容

1、图像的旋转平移原理及其实现
2、仿射变换及实例
3、透视变换及实例
4、opencv实验结果

1、图像的旋转平移

二维xy坐标系

如图是以$O$为原点的$xy$二维平面坐标系，平面上有一点$P(x,y)$，与原点$O$的距离$OP=r$，设$OP$与坐标轴x的夹角为$\alpha$；$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$是$P$以$r$为半径以$O$为圆心逆时针旋转$\beta$角度后得到的点

旋转

现在用$P$以及来表示$P^{\prime }$
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =r\ast cos(\alpha +\beta )\\ & =r\ast cos\alpha \ast cos\beta -r\ast sin\alpha \ast sin\beta \\ & =x\ast cos\beta -y\ast sin\beta \\ y^{\prime }& =r\ast sin(\alpha +\beta )\\ & =r\ast sin\alpha \ast cos\beta +r\ast cos\alpha \ast sin\beta \\ & =x\ast sin\beta +y\ast cos\beta \end{array}$$
用矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
以上推广开来，二维平面上的点以坐标原点$O$为中心，逆时针旋转了$\beta$度。

图像坐标系

首先看图像坐标系和二维xy坐标系

可以看到两坐标系的横轴$x$与$u$方向相同，纵轴$y$与$v$方向相反，上述的坐标公式表达是以二维xy坐标系的方向来思考的，那么在实际的图像坐标中：

旋转

如图是以$O$为原点的$uv$图像平面坐标系，平面上有一点$P(x,y)$，与原点$O$的距离$OP=r$，设$OP$与坐标轴x的夹角为$\alpha$；$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$是$P$以$r$为半径以$O$为圆心逆时针旋转$\beta$角度后得到的点
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =r\ast cos(\alpha -\beta )\\ & =r\ast cos\alpha \ast cos\beta +r\ast sin\alpha \ast sin\beta \\ & =x\ast cos\beta +y\ast sin\beta \\ y^{\prime }& =r\ast sin(\alpha -\beta )\\ & =r\ast sin\alpha \ast cos\beta -r\ast cos\alpha \ast sin\beta \\ & =-x\ast sin\beta +y\ast cos\beta \end{array}$$
用矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\beta & sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

按照我们的常规思维，是希望图像绕着自己的中心旋转一个角度的，但是图像$(u,v)$坐标系和笛卡尔坐标系是不一样的；下图是图像的像素坐标系，每个方格代表一个像素，图像的行数为$rows$，列数为$cols$；图像坐标原点$O$在左上角，不同于图像中心$(u_0,v_0)=(cols/2,rows/2)$，因此要减去图像中心$(u_0,v_0)$让图像中心移动到坐标原点上去，才能让图像绕着自己的图像中心旋转

因此
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =(x-u_0)\ast cos\beta +(y-v0)\ast sin\beta \\ y^{\prime }& =-(x-u_0)\ast sin\beta +(y-v0)\ast cos\beta \end{array}$$
用矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\beta & sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x-u_0\\ y-v_0\end{array}\right]$$
但是旋转完成之后，我们得恢复图像中心，于是得加上之前减掉的$(u_0,v_0)$，
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =(x-u_0)\ast cos\beta +(y-v0)\ast sin\beta +u_0\\ & =x\ast cos\beta +y\ast sin\beta +u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta \\ y^{\prime }& =-(x-u_0)\ast sin\beta +(y-v0)\ast cos\beta +v_0\\ & =-x\ast sin\beta +y\ast cos\beta +u_{0}sin\beta +v_0(1-cos\beta )\end{array}$$
齐次坐标矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta & sin\beta & u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta & v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

旋转平移

我们可以再加上$(u_1,v_1)$达到图像平移的效果
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =(x-u_0)\ast cos\beta +(y-v0)\ast sin\beta +u_0+u_1\\ & =x\ast cos\beta +y\ast sin\beta +u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ y^{\prime }& =-(x-u_0)\ast sin\beta +(y-v0)\ast cos\beta +v_0+v_1\\ & =-x\ast sin\beta +y\ast cos\beta +u_{0}sin\beta +v_0(1-cos\beta )+v_1\end{array}$$
矩阵表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta & sin\beta & u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta & cos\beta & v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

旋转平移缩放

我们还可以在矩阵中乘以一个缩放系数$s$对坐标进行缩放，达到图像缩放的目的
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s& sin\beta \ast s& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s& cos\beta \ast s& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

特殊情况

当旋转角度$\beta =0$，平移量$(u_1,v_1)=(0,0)$，缩放系数$s=1$时，相当于没有对图像做变换，将上述参数带入矩阵可得
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
可得：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x \\ {y}^{\prime }=y \end{gathered}$$
与实际一致

2、单应性变换

单应性主要针对的是图像中我们关心的目标区域处于同一平面，或者说目标处的起伏与相机到目标之间的距离比起来非常小，可以近似看成平面；在三维重建structure from motion中，如果两幅图像之间的60%的特征点都满足单应性，是不宜作为初始像对的，因为此时的特征点大多处于同一平面，对sfm来说是不好的；关于单应性变换的理解，可以阅读这篇文章，讲得很好：单应性Homograph估计：从传统算法到深度学习 https://zhuanlan.zhihu.com/p/74597564

仿射变换

对于上面的旋转平移缩放矩阵，如果$x,y$加以不同的缩放因子，比如$x,y$轴的缩放因子分别是$s_1,s_2$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s1& sin\beta \ast s2& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s2& cos\beta \ast s1& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中
$$H=\left[\begin{array}{ccc}{h}_{11}& h_{12}& h_{13}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s1& sin\beta \ast s2& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s2& cos\beta \ast s1& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$H$就是一个仿射变换矩阵

透视变换

当上述$H$矩阵的$h_{31},h_{32}$不为0时，$H$是个透视变换矩阵

$$H=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s1& sin\beta \ast s2& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s2& cos\beta \ast s1& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ k_1& k_2& 1\end{array}\right]$$

3、opencv实验

首先看一段代码：

\opencv-4.4.0\modules\imgproc\src\imgwarp.cpp
cv::Matx23d cv::getRotationMatrix2D_(Point2f center, double angle, double scale)
{
     
    CV_INSTRUMENT_REGION();

    angle *= CV_PI/180;
    double alpha = std::cos(angle)*scale;
    double beta = std::sin(angle)*scale;

    Matx23d M(
        alpha, beta, (1-alpha)*center.x - beta*center.y,
        -beta, alpha, beta*center.x + (1-alpha)*center.y
    );
    return M;
}

这是opencv提供的获取旋转矩阵的函数，输入是旋转中心、角度、缩放系数，输出是一个2x3的变换矩阵，对比上面的推导
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s& sin\beta \ast s& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s& cos\beta \ast s& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta \ast s& sin\beta \ast s& u_0(1-cos\beta )-v_{0}sin\beta +u_1\\ -sin\beta \ast s& cos\beta \ast s& v_0(1-cos\beta )+u_{0}sin\beta +v_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
观察代码中的M矩阵，除了没有加上平移量$(u_1,v_{!})$，其余部分是完全对应的，此函数就是通过传入旋转中心、旋转角度、缩放系数3个参数来计算出一个旋转、缩放的变换矩阵；可能有人问那平移怎么实现呢，使用这个函数确实不能实现，下文会讲到可以在获取M矩阵后对其进行进一步的更改。

图像的旋转平移缩放实现

代码

#include 
#include 
using namespace cv;

template<typename T>
struct Scale_
{
     
	T s1 = 1.0;
	T s2 = 1.0;
	T s3 = 1.0;
	T s4 = 1.0;

};

template<typename T>
struct Perspective_
{
     
	T p1 = 0;
	T p2 = 0;

};


int main()
{
     
	//读入图像
	cv::Mat srcImage;
	srcImage = imread("data/rec.bmp", 1);
	//srcImage = imread("data/graf3.png", 1);
	//srcImage = imread("data/book1.jpg", 1);
	if (!srcImage.data)
		return -1;
	imshow("srcImage", srcImage);

	Mat destImage;	//创建目标图像
	double angle;//角度
	Point2f translation;//平移量
	Scale_<double> scale;//缩放系数
	Perspective_<double> perspective;//透视变换

	不作任何变换
	//angle = 0;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//translation.x = 0;
	//translation.y = 0;
	//perspective.p1 = 0;
	//perspective.p1 = 0;

	平移
	//angle = 0;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	
	//translation.x = 50;
	//translation.y = 100;
	//perspective.p1 = 0;
	//perspective.p1 = 0;

	旋转+平移
	//angle = 45;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 1;
	
	//translation.x = 50;
	//translation.y = 100;
	//perspective.p1 = 0;
	//perspective.p1 = 0;


	仿射(用不同的缩放系数进行缩放)
	//angle = 45;
	
	//scale.s1 = 1;
	//scale.s1 = 0.5;
	//scale.s1 = 0.3;
	//scale.s1 = 0.75;
	//translation.x = 0;
	//translation.y = 0;
	//perspective.p1 = 0;
	//perspective.p1 = 0;

	//透视
	angle = 0;
	scale.s1 = 1;
	scale.s1 = 1;
	scale.s1 = 1;
	scale.s1 = 1;
	translation.x = 0;
	translation.y = 0;
	//
	perspective.p1 = 0.0006;
	perspective.p2 = 0;



	Point2f center(srcImage.cols / 2, srcImage.rows / 2);//中心
	Mat M;
	//由给定旋转平移参数生成2x3的变换矩阵
	//Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)
	M = getRotationMatrix2D(center, angle, 1);//计算旋转的仿射变换矩阵
	double v[1][3] = {
      0,0,1 };

	Mat row(1, 3, CV_64F, &v[0][0]);  // 3 cols, 1 row
	//将{0,0,1}添加至变换矩阵最后一行，使矩阵2x3的旋转缩放矩阵变成3x3单应性矩阵
	M.push_back(row);

	//缩放
	M.at<double>(0, 0) *= scale.s1; //h11
	M.at<double>(0, 1) *= scale.s2; //h12
	M.at<double>(1, 0) *= scale.s3; //h21
	M.at<double>(1, 1) *= scale.s4; //h22
	//平移
	M.at<double>(0, 2) += translation.x; //h13
	M.at<double>(1, 2) += translation.y; //h23
	//透视
	M.at<double>(2, 0) += perspective.p1; //h31
	M.at<double>(2, 1) += perspective.p2; //h32


	//使用变换矩阵对图像进行变换
	warpPerspective(srcImage, destImage, M, Size(srcImage.cols, srcImage.rows));
	//绘制旋转中心
	imwrite("output/graf3_trans.png", destImage);
	imshow("dst", destImage);


	waitKey(0);
	return 0;
}

下面实验结果，实验使用的原图(500x500)如下，调试时查看mat的工具为image watch:opencv用VS2013调试时用Image Watch插件查看图片 https://blog.csdn.net/mao_hui_fei/article/details/80951075

不作任何变换

变换矩阵，可以看到此时变换矩阵为单位矩阵

变换结果

平移

变换矩阵，$h_{13}$与$h_{23}$是平移量

变换结果

平移+旋转

变换矩阵

变换结果

仿射(用不同的缩放系数进行缩放)

变换矩阵

变换结果，可以看到矩形变成平行四边形，圆形变椭圆

透视

变换矩阵

变换结果

变换矩阵

变换结果

坐标系变换与图像坐标变换

图像的旋转平移是在同一坐标系下的坐标变换，为什么要加上同一坐标系下，因为得和坐标系变换作出区别
上述对图像的一系列操作，可以这样想象：
将摄像头固定，将图像打印至A4纸，把图像在空间中使用不同姿态、不同距离放置，每次拍照，便可得到上述变换的结果。比如上述的透视，像不像正对你的图像被侧放了一个角度时的视觉效果。
而坐标系变换，可以这样类比：
将打印的图像或目标物体放在固定的地方，用摄像机从不同距离、不同角度去拍摄目标，于是在多幅图像之间就涉及到了空间坐标系的变换以及多视图几何。
这两种变换在进行公式推时候是有细微差别的，后面有空的话再写一篇空间坐标系变换的文章联系起来。

# 参考 [OpenCV图像旋转 https://blog.csdn.net/liangchunjiang/article/details/80662659](https://blog.csdn.net/liangchunjiang/article/details/80662659) [图像旋转、镜像、尺寸调整：https://blog.csdn.net/qq_32285693/article/details/89197446](https://blog.csdn.net/qq_32285693/article/details/89197446)

完

相比于出去人挤人汗流浃背，个人还是觉得躺家里睡觉舒服，不过今天白天着实睡太多了，不妥不妥。
各位劳动节快乐！
如有错漏，敬请指正
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