DTW（dynamic time warping）动态时间归整-详解（MATLAB和python）
DTW（dynamic time warping）动态时间归整-详解（MATLAB和python）
- 在语音识别中，简单的将输入模板与相应的参考模板直接做比较存在很大的缺点。因为语音信号具有相当大的随机性，即使是同一个人在不同时刻发的同一个语音，也不可能具有完全相同的时间长度，因此时间归正处理是必不可少的。动态时间规整（dynamic time warping）是把时间归正和距离测度计算结合起来的一种非线性归整技术。它也是语音识别中一种很成功的匹配算法。
- 动态时间规整是采用动态规划技术（dynamic programming,DP），将一个复杂的全局最优化问题转化为许多局部最优化问题，一步一步地进行决策。
- DTW的基本思想：将时间规整与距离测度结合起来，采用动态规整技术，比较两个大小不同的模式，解决语音识别中语速多变的难题。
DTW怎么计算？
- （1）初始化，对起点值进行初始化。
- （2）递推求累加距离。
- （3）回溯求出所有的匹配点对。
下面我们来总结一下DTW动态时间规整算法的简单的步骤：
-
首先肯定是已知两个或者多个序列，但是都是两个两个的比较，所以我们假设有两个序列A={a1,a2,a3,…,am} B={b1,b2,b3,…,bn}，维度m>n
-
然后用欧式距离计算出每序列的每两点之间的距离，D(ai,bj) 其中1≤i≤m，1≤j≤n
3. 接下来就是根据上图将最短路径找出来。从D(a1,a2)沿着某条路径到达D(am,bn)。找路径满足：假如当前节点是D(ai,bj)，那么下一个节点必须是在D(i+1,j)，D(i,j+1)，D(i+1,j+1)之间选择，并且路径必须是最短的。计算的时候是按照动态规划的思想计算，也就是说在计算到达第(i,j)个节点的最短路径时候，考虑的是左上角也即第(i-1,j)、(i-1,j-1)、(i,j-1)这三个点到(i,j)的最短距离。
4. 接下来按照回溯法输出路径，从D(a1,b1)到D(am,bn)。他们的总和就是就是所需要的DTW距离。
举例：
已知：两个列向量a=[8 9 1]’，b=[ 2 5 4 6]’，其中’代表转置，也就是把行向量转换为列向量了
求：两个向量利用动态时间规整以后的最短距离
第一步：计算对应点的欧式距离矩阵d【注意开根号】
6 3 4 2
7 4 5 3
1 4 3 5
第二步：计算累加距离D【从6出发到达5的累加距离】
6 9 13 15
13 10 14 16
14 14 13 18
计算方法如下：
D(1,1)=d(1,1)=6
D(1,2)=D(1,1)+d(1,2)=9
…
D(2,2)=min(D(1,2),D(1,1),D(2,1))+d(2,2)=6+4=10
…
D(m,n)=min(D(m-1,n),D(m-1,n-1),D(m,n-1))+d(m,n)
MATLAB程序
程序里面尽可能的做了详细注释：
dtw.m
function [Dist,D,k,w]=dtw(r,t)
%
% [Dist,D,k,w]=dtw(r,t)
%
% Dynamic Time Warping Algorithm
% Dist is unnormalized distance between t and r
% D is the accumulated distance matrix
% k is the normalizing factor
% w is the optimal path
% t is the vector you are testing against
% r is the vector you are testing
% r和t是测试向量和模板向量，此为待输入量
%
[row,M]=size(r); if (row > M) M=row; r=r'; end;
[row,N]=size(t); if (row > N) N=row; t=t'; end;
d=sqrt((repmat(r',1,N)-repmat(t,M,1)).^2); %repmat函数是为了把矩阵进行重复放置，
%d就是对应点的距离矩阵 %把矢量转化为矩阵，便于求矩阵的差值
d
D=zeros(size(d));
D(1,1)=d(1,1);
for m=2:M
D(m,1)=d(m,1)+D(m-1,1); %计算垂直方向对应点的距离，相邻值加上步长
end
for n=2:N
D(1,n)=d(1,n)+D(1,n-1); %计算水平方向上对应点的距离，相邻值加上步长
end
for m=2:M %计算对角线上的对应点的距离，此时应该找相邻3点的最小距离相加
for n=2:N
D(m,n)=d(m,n)+min(D(m-1,n),min(D(m-1,n-1),D(m,n-1))); % this double MIn construction improves in 10-fold the Speed-up. Thanks Sven Mensing
end
end
D
% D矩阵就是累加距离D
Dist=D(M,N); %D矩阵的最左下方的D(M,N)即为所求的最小距离
n=N;
m=M;
k=1;
w=[M N];
while ((n+m)~=2) %找出最佳路径并输出
if (n-1)==0
m=m-1;
elseif (m-1)==0
n=n-1;
else
[values,number]=min([D(m-1,n),D(m,n-1),D(m-1,n-1)]);
switch number %values值为输出的最小值，number为最小值在所在的位置索引
case 1
m=m-1;
case 2
n=n-1;
case 3
m=m-1;
n=n-1;
end
end
k=k+1;
w=[m n; w]; % this replace the above sentence. Thanks Pau Mic
%w为最终的最优路径
end
end
主函数如下：
clear
clc
a=[8 9 1]';
b=[2 5 4 6]';
[Dist,D,k,w] = dtw(a,b);
fprintf('最短距离为%d\n',Dist)
fprintf('最优路径为')
w
输出结果如下：
d =
6 3 4 2
7 4 5 3
1 4 3 5
D =
6 9 13 15
13 10 14 16
14 14 13 18
最短距离为18
最优路径为
w =
1 1
2 2
3 3
3 4
结果完全符合推理过程。
python程序
python中有一个fastdtw库，可以利用该库函数实现dtw。
- fastdtw的安装
pip install fastdtw
- 示例代码如下：
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
from fastdtw import fastdtw
x = np.array([8, 9, 1])
y = np.array([2, 5, 4, 6])
distance, path = fastdtw(x, y, dist=euclidean)
print(distance)
print(path)
输出结果：
18.0
[(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 3)]
和上面的MATLAB代码计算的结果相同，只是MATLAB的索引值是从1开始的，python中索引值是从0开始的。最终的最短路径是一样的。
参考
【1】https://blog.csdn.net/zb1165048017/article/details/49226315
【2】语音信号处理 -韩纪庆