数论专题-欧拉函数的求法
数论专题-欧拉函数求法
φ(m)，即小于m的m个数中与m互质的数的个数
这次讲φ(m)=m*(1-1/p1)*(1-1/p2)……
前言
先点关注，不迷路
大家好，我是于斯为盛
先给大家道个歉，上次许诺要讲这个的，前一段有点忙，一直托到现在
这个证明稍微有点长
我们慢慢来
废话不多说
讲得不好勿喷~
证明
证明分几步走，大家不要着急
定理1
若m1，m2互素，x，y分别跑遍m1，m2的完全剩余系
则xm2+ym1跑遍m1m2的完全剩余系
证明
xi通过m1个整数
yi通过m2个整数
所以xim2+yim1通过m1m2个整数
我们只需证明这m1m2个整数对Mod m1m2两两不同余就可以
（因为m1m2的完全剩余系只有m1m2个整数）
任给x1 y1 x2 y2
xi跑遍m1的完全剩余系
yi跑遍m2的完全剩余系
假设x1m2+y1m1≡x2m2+y2m1 Mod m1m2
我们可得方程
x1m2+y1m1=x2m2+y2m1+km1m2(k不一定为正整数) 方程1
由方程1 Mod m1得
x1m2≡x2m2 Mod m1
由于（m1,m2）=1
可得x1≡x2 Mod m1
因为x1,x2跑遍m1的完全剩余系
所以x1=x2
由方程1 Mod m2得
y1m1≡y2m1 Mod m2
由于（m1,m2）=1
可得y1≡y2 Mod m2
因为y1,y2跑遍m2的完全剩余系
所以y1=y2
综上所述，方程1成立的条件是x1=x2且y1=y2
所以形如x1m2+x2m1的式子在Mod m1m2互不相等
证毕
证明完全剩余系是为了后续将简化剩余系写成这种形式
定理2
若m1，m2互素，x，y分别跑遍m1，m2的简化剩余系
则xm2+ym1跑遍m1m2的简化剩余系
证明
由定理1可知
当x跑遍m1的完全剩余系
当y跑遍m2的完全剩余系
且（m1，m2）=1
xm2+ym1跑遍m1m1的完全剩余系
所以m1m2的简化剩余系可以写成xm2+ym1的形式
当（m1，m2）=1，（m1，x）=1时（即x跑遍m1的简化剩余系，y跑遍m2的简化剩余系）
所以（m2x，m1）=1
所以（m2x+m1y，m1）=1
同理可证（m2x+m1y，m2）=1
所以（m2x+m1y，m1m2）=1
即当x跑遍m1的简化剩余系，y跑遍m2的简化剩余系时
xm2+ym1包含在m1m2的简化剩余系中
当（m2x+m1y，m1m2）=1时
（m2x+m1y，m1）=1
（m2x，m1）=1
又有（m2，m1）=1
所以（x，m1）=1
同理可得（y，m2）=1
即当xm1+ym2跑遍m1m2的简化剩余系时
x包含在m1的简化剩余系，y包含在m2的简化剩余系
所以
x跑遍m1的简化剩余系，y跑遍m2的简化剩余系
等价于
xm1+ym2跑遍m1m2的简化剩余系
证毕
推论
x通过φ（m1）个数
y通过φ（m2）个数
所以xm1+ym2通过φ（m1）×φ（m2）个数
又因为xm1+ym2通过φ（m1m2）个数（m1m2的简化剩余系）
所以当（m1，m2）=1时
φ（m1）×φ（m2）=φ（m1m2）
定理三
当p为素数时
φ（pe）=pe-pe-1
证明
小于等于pe的正整数一共pe个数
而m为素数，即（pe，i）=1时必有 p|i
而美m个数中就有一个时m的倍数
所以与pe有公因子的数有pe/p=pe-1个
所以φ（p）=pe-pe-1
证毕
核心证明
设：m=p1e1×p2e2……（唯一分解定理，pi为素数）
由定理2的推论可知
φ（m）=φ（p1e1×p2e2……）
=φ（p1e1）×φ（p2e2……）
=……
=φ（p1e1）×φ（p2e2）……
由定理3可知
φ（piei）=piei-piei-1=(1-1/piei)×piei
---------------------------^ 即同除piei再同乘piei
那么原式=φ（p1e1）×φ（p2e2）……
=(1-1/p1e1)×p1e1 ×(1-1/p2e2)×p2e2……
=(p1e1×p2e2……)×(1-1/p1e1)×(1-1/p2e2)……
=m×(1-1/p1e1)×(1-1/p2e2)……
证毕
代码
void GenPhi(int &phi, int m){
Phi=_m;
int curM=_m;//为了和后面的控制变量区分开，我这里是把m设为全局变量
for(int i=2; i*i<=_m; i++){
if(_use[i]){
continue;//_use[i]是判断和数的数组
}
if(curM%i==0){
_fai/=i;
_fai*=i-1;//发现因子，*(1-1/pi^ei)
while(curM%i==0){
curM/=i;//除掉因子
//cout<
}
}
if(curM==1){
break;
}
for(int m=i; m*i<=10000; m++){
_use[i*m]=true;//标记合数
}
}
//cout<
if(curM!=1){
_phi/=curM;
_phi*=curM-1;
}
//cout<<_fai<
}
应用
讲了这么多，欧拉函数也会求了
那么，它有什么用？
后续的应用给大家推荐一个
免费课程及附件.
我以后也应该会写
结尾
另外，大家不要忘了点个关注呀~
好了，差不多说完了
如果有 错误/优化/疑问 欢迎提出
WeChat:wxid_ffe28hxx677f32
（其实是我想认识大佬）
——by 于斯为盛