欧拉函数求互质数个数

求解与n(1-n-1)互质的质因子的个数

 

解析:

定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。

    例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。

性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1.

   2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

   3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n).

  根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

  E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

    = k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

    = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)

  若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;

  若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);

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