夜深人静写算法（二十九）- 数位DP

一、前言

  数位 DP 又称 数位动态规划，在 LeetCode 上属于难题，而 ACM 竞赛中属于中等题，甚至可以说是模板题。
  数位 DP 的状态设计千变万化，但万变不离其宗，只要确定这个题是用数位 DP 求解，基本就很容易把状态套出来。当然，对于刚接触动态规划的同学，建议先看下 背包问题、最长单调子序列、最长公共子序列、记忆化搜索 等基础内容，对状态机和状态转移有一个初步的认识，那么，在学习数位 DP 时能够起到事半功倍的效果。

二、数位 DP 简介

1、数位 DP 定义

• 数位 DP 又称 数位动态规划，一般可以从题干就能确定这个题是否可以用 数位 DP 来求解。因为 数位 DP 的题目一般都描述成如下两种问法之一：

【问法1】给定一个闭区间 $[l,r]$，求在这个区间中，满足 某些条件 的数的个数。
【问法2】如果一个数字满足 某些条件，则称之为 $X$ 数，给定闭区间 $[l,r]$，求这个区间中 $X$ 数的个数。

• 这里的 某些条件 决定了状态转移的决策，这样说或许比较抽象，那么接下来，我们通过一个简单的例题来了解下 数位DP 的一般求解过程。

2、数位 DP 引例

【例题1】如果一个数的所有位数加起来是 $10$ 的倍数, 则称之为 $goodnumber$，求区间 $[l,r](0\le l\le r\le 10^{18})$ 内 $goodnumber$ 的个数；

• 对于这个问题，朴素算法就是枚举区间里的每个数，并且判断可行性，时间复杂度为 $o((r-l)c)$，$c=19$，肯定是无法接受的。

1）差分转换

• 对于区间 $[l,r]$ 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
• 假设 $[0,x]$ 内的 $goodnumber$ 数量为 $g_x$，那么区间 $[l,r]$ 内的数量就是 $g_r-g_{l-1}$；分别用同样的方法求出 $g_r$ 和 $g_{l-1}$，再相减即可；
  图二-2-1

2）数位性质

• 如果一个数字 $i$ 满足 $i<x$，那么 $i$ 从高到低肯定出现某一位，使得这一位上的数值小于 $x$ 对应位上的数值，并且之前的所有高位都和 $x$ 上的位相等。
• 举个例子，当 $x=1314$ 时，$i=0abc$、$i=12ab$、$i=130a$、$i=1312$，那么对于 $i$ 而言，无论后面的字母取什么数字，都是满足 $i<x$ 这个条件的。
• 如图二-2-2所示：
  图二-2-2
• 如果我们要求 $g_{1314}$ 的值，可以通过枚举高位：当最高位为0，那么问题就转化成 $g_{999}$ 的子问题；当最高位为1，问题就转化成 $g_{314}$ 的子问题。
• $g_{314}$ 可以继续递归求解，而 $g_{999}$ 由于每一位数字范围都是 $[0,9]$，可以转换成一般的动态规划问题来求解。

3）前缀状态

• 这里的前缀状态就对应了之前提到的 某些条件；
• 在这个问题中，前缀状态的描述为：一个数字前缀的各位数字之和对10取余（模）的值。
• 前缀状态的变化过程如图二-2-3所示：
  图二-2-3
• 在【例题1】中，前缀状态的含义是：对于一个数 520 ，我们不需要记录 520 ，而只需要记录 7；对于 52013，我们不需要记录 52013，而只需要记录 1。这样就把原本海量的状态，变成了最多 10 个状态。

3、状态分析

1）状态定义

• 根据以上的三个信息，我们可以从高位到低位枚举数字 $i$ 的每一位，逐步把问题转化成小问题求解。
• 我们可以定义 $f(n,st,lim)$ 表示剩下还需要考虑 $n$ 位数字，前面已经枚举的高位组成的前缀状态为 $st$，且用 $lim$ 表示当前第 $n$ 位是否能够取到最大值（对于 $b$ 进制，最大值就是 $b-1$，比如 10 进制状态下，最大值就是 9） 时的数字个数。我们来仔细解释一下这三维代表的含义：
• 1）当前枚举的位是 $n$ 位，$n$ 大的代表高位，小的代表低位；
• 2）$st$ 就是前缀状态，在这个问题中，代表了所有已经枚举的高位（即数字前缀）的各位数字之和对10取余（模）。注意：我们并不关心前缀的每一位数字是什么，而只关心它们加和模10之后的值是什么。
  图二-3-1
• 3）$lim=true$ 表示的是已经枚举的高位中已经出现了某一位比给定 $x$ 对应位小的数，那么后面枚举的每个数最大值就不再受 $x$ 控制；否则，最大值就应该是 $x$ 的对应位。举例说明，当十进制下的数 $x=1314$ 时，枚举到高位前三位为 “131”，$lim=false$， 那么第四位数字的区间取值就是 $[0,4]$；而枚举到高位前三位为 “130” 时，$lim=true$，那么第四位数字的区间取值就是 $[0,9]$。参考 图二-2-2 加深理解。

2）状态转移

• 所以，我们根据以上的状态，预处理 $x$ 的每个数位，表示成十进制如下：
• $$x=d_n{d}_{n-1}...d_1$$
• (其中 $d_n$ 代表最高位，$d_1$ 代表最低位)
• 得出状态转移方程如下：
• $$\begin{array}{rl}& f(n,st,lim)\\ & =\sum _{k=0}^{maxv}f(n-1,(st+k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10,limor(k<maxv))\end{array}$$
• $k$ 表示第 $n$ 位取什么数字，它的范围是 $[0,maxv]$；
• $maxv$ 表示第 $n$ 位能够取到的最大值，它由 $lim$ 决定，即：
• $$maxv=\{\begin{array}{ll}9& lim=true\\ d_n& lim=false\end{array}$$

3）初始状态

• 利用上述的状态转移方程，我们可以进行递归求解，并且当 $n=0$ 的时候为递归出口，由于数字要求满足所有数字位数之和为 $10$ 的倍数，所以只有 $st=0$ 的情况为合法状态，换言之，当 $n=0$ 时，有：
• $$f(0,x,lim)=\{\begin{array}{ll}1& x=0\\ 0& 0<x\le 9\end{array}$$
• 而我们需要求的，就是 $f(n,0,false)$。

4）记忆化

• 我们发现，如果按照以上的状态转移进行求解，会导致一个问题，就是会有很多重叠子问题，所以需要进行记忆化，比较简单的方法就是用一个三维数组 $f[n][st][lim]$ 来记忆化。
• 当然，这里有一个技巧，就是 $lim$ 这个变量只有 $true$、$false$ 两种取值，并且当它为 $false$ 时，代表之前枚举的数的高位和所求区间 $[0,x]$ 右端点中的 $x$ 的高位保持完全一致，所以当 $lim=false$ 时，深度优先搜索树的分支最多只有 $1$ 条，所以无须记忆化，每次直接算就可以。如图二-3-2所示的蓝色结点，就是那条唯一分支。
  图二-3-2
• 综上所述，我们只需要用 $f[n][st]$ 表示长度为 $n$，且每个数字的范围为 $[0,maxv]$，且前缀状态为 $st$ 的数字个数（这里 $maxv$ 和进制有关，如果是 $b$ 进制，那么 $maxv=b-1$）。
• $f(n,st,false)$ 采用普通深搜，$f(n,st,true)$ 采用记忆化搜索。

三、数位 DP 代码实现

数位 DP 计算过程主要分为以下几步：
  1、状态初始化
  2、数位初始化
  3、记忆化搜索

1、状态初始化

• 状态初始化主要是初始化 $f[n][st]$ 数组，将数组中的所有值都初始化为一个小于 0 的数即可，一般用 -1。
• c++ 代码实现如下：

const int maxl = 20;
const int maxstate = 10;
const int inf = -1;
#define ll long long
ll f[maxl][maxstate];
void init() {
     
    memset(f, inf, sizeof(f));	
}

2、数位初始化

• 数位初始化就是将给定的区间 $[0,x]$ 的右端点 $x$ 按照数位分解到数组 $d[]$ 中；
• 需要注意的是处理边界情况： $x<0$ 以及 $x=0$ 的情况；
• c++ 代码实现如下：

const int base = 10;
ll g(ll x) {
     
    if (x < 0) return 0;
    if (x == 0) return 1;
    int d[maxl];
    int n = 0;
    while (x) {
     
        d[++n] = x % base;
        x /= base;
    }
    return dfs(n, 0, false, d);
}

3、记忆化搜索

• 记忆化搜索部分就是数位 DP 的核心实现，先给出代码，再来解释代码的含义：

ll dfs(int n, stType state, bool lim, int d[]) {
     
    if(n == 0)
        return isEndStateValid(state) ? 1 : 0; // 1) 
    ll sum = f[n][state];
    if(lim && sum != inf) return sum;          // 2)
    sum = 0;
    int maxv = lim ? base - 1 : d[n];          // 3)
    for(int k = 0; k <= maxv; ++k) {
     
        stType st = nextState(state, k);
        bool nextlim = (k < maxv) || lim;
        sum += dfs(n-1, st, nextlim, d);       // 4)
    } 
    if(lim) f[n][state] = sum;                 // 5)
    return sum;
}

• 1）当 $n=0$ 的时候，即为递归出口，也就是所有的数位都已经枚举完毕，这时候通过 所有数字之和对 10 取余数的值来判断是否是一个题目中要求的数，是则返回 1，否则返回 0；通过isEndStateValid(state)进行判定：

#define stType int
bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return state == 0;
}

• 2）当 lim = true，表示接下来所有数的取值都不受给定的 $x$ 限制，这时候如果f[n][state]已经计算过了，则直接返回即可；
• 3）通过 lim来决定当前第 $n$ 位数字枚举的上限：当lim = true时，上限为 base-1；否则，为 $d_n$；
• 4）这一步主要做状态转移，封装出一个 nextState(state, k)函数来生成当前位取 $k$ 时的下一步的状态，对于【例题1】来说，函数实现如下：

stType nextState(stType st, int digit) {
     
	return (st + digit) % 10;
}

• 5）当 lim = true，进行记忆化操作，和步骤 （2）相照应；
• 通过【例题1】，我们了解了一下 数位 DP 的大致求解过程，这个题也是最简单的，接下来我们来看下竞赛中一般会遇到什么样的问题。你会发现，除了状态设计和状态转移部分的差别，整体框架代码都是不变的，所以说 数位DP 就是模板题。

四、数位 DP 进阶

1、非法状态

• 所谓非法状态，就是对于某个数字，在它的某个前缀已经能够判定这个数不满足给定题目的条件时，无须继续往下枚举，而这个前缀状态被称为非法状态，我们通过【例题2】来理解下非法状态的实际含义。

【例题2】对于一个数字，如果出现 4 或者 62 ，则属于不吉利数字，给定 $l,r(0<l<r<10^6)$，求区间 $[l,r]$ 中非不吉利数字的个数。

• 对于任意一个在区间 $[l,r]$ 内的数，它的某个前缀的最后一位数字只要是 “4” 或者 最后两位数字只要是 “62” 就一定不是我们要求的数，换言之，只要一个数的前缀以 “4” 或者 “62” 结尾，那么就一定是非法前缀状态，简称非法状态。
• 前缀状态 $st$ 表示：已经枚举的数字的前缀的最后一位，所以合法的状态总共有 9 种情况：分别是以 0、1、2、3、5、6、7、8、9 结尾的，然后对所有合法状态，增加一位 $[0,9]$ 的数字后进行状态转移；状态转移过程中会出现两种非法状态：
• 1）新增加的位等于 4；
• 2）$st=6$，且新增加的位等于 2；
• 除了非法状态不进行状态转移，其它状态都进行状态转移，我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

const int invalidstate = -123456789;
bool isEndStateValid(stType state) {
     
    return true;
}
stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if( (digit == 4) || (st == 6 && digit == 2) ) {
     
        return invalidstate;
    }
    return digit;
}

• 状态转移如图四-1-1所示：
  图四-1-1
• 图中红色状态代表非法状态，蓝色状态代表任意的合法状态。当一个以 3 结尾的数字，增加一位 6，再增加一位 2，则变成非法状态，无法再进行状态转移，同样，增加一位 4，也能直接变成非法状态。而一个以 6 结尾的数字，增加一位 3，则又回到了 3 的状态。
• 可以定义一个和所有状态变量不重复的常量（一般可以用负数，如 -123456789）来表示非法状态。

2、饱和状态

• 所谓饱和状态，就是对于某个数字，在它的某个前缀已经能够判定这个数满足给定题目的条件，而这个前缀状态被称为饱和状态，我们通过【例题3】来理解下饱和状态的实际含义。

【例题3】给定一个 $n(1\le n\le 2^{63}-1)$，求小于等于 $n$ 的数字中包含 49 的数的个数。

• 从题意可以得知，饱和状态 和 非法状态 正好是两个逆状态。
• 对于任意一个小于等于 $n$ 的数，它的某个前缀的最后两位数字只要是 “49” 就一定是我们要求的数，换言之，只要一个数的前缀以 “49” 结尾，那么就一定是饱和前缀状态，简称饱和状态。饱和状态，无论接收什么数字，还是保持饱和状态不变。
• 前缀状态 $st$ 表示：已经枚举的数字的前缀的最后一位，所以合法的状态总共有 10 种情况：分别是以 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 结尾的，然后对所有合法状态，增加一位 $[0,9]$ 的数字后进行状态转移；状态转移过程中会出现一种饱和状态：
• 1）$st=4$，且新增加的位等于 9；
• 当某个状态变成饱和状态的那一刻，它前缀的最后一位也是9，为了区别原先的 9，我们可以用 10 进行编码，我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

const int saturatedstate = 10;
bool isEndStateValid(stType state) {
     
    return (state == saturatedstate); 
}
stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(st == 4 && digit == 9) {
     
        st = saturatedstate;
    }else if(st != saturatedstate){
     
        st = digit;
    }
    return st;
}

• 状态转移如图四-2-1所示：
  图四-2-1
• 图中黄色状态代表饱和状态，蓝色状态代表任意的合法状态。当一个以 3 结尾的数字，增加一位 4，再增加一位 9，则变成饱和状态，无论怎么状态转移都回到自己；而一个以 4 结尾的数字，增加一位 3，则又回到了 3 的状态。
• 可以定义一个和所有状态变量不重复的常量来表示饱和状态，由于饱和状态也是要进行记忆化的，所以不能用负数。

3、组合状态

• 所谓组合状态，就是几种不同维度的状态，通过整数编码映射到一个整数中，方便计算。

【例题4】一个数的十进制包含子串 “13” 并且能被 13 整除，则被称为 B 数，求小于等于 $n(n\le 10^9)$ 的 B 数。

• 心里没有点 B 数，说的就是这道题了。
• 这个问题既要满足 饱和 又要满足 同余。
• 所以对于这个问题，我们发现，前缀状态 $st$ 由两部分组成：
• 1）已经枚举的数字的前缀的最后一位；
• 2）已经枚举的数字前缀模 13 的值；
• 对于第（1）种情况而言，前缀最后一位总共 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 种情况，并且当之前一位是 1，再枚举一个 3 时，数字达到饱和状态，可以用 10 编码；而对于第（2）种情况，可以参考 【例题1】 直接采用取模的方式，总共 13 种；
• 那么，我们可以把 （1） 和 （2） 组合起来编码，编码成一个四位的十进制数。
• 例如：前缀最后一位为 4，且所有前缀数字之和模13 为 9，则可以用 409 来表示状态，最大的状态表示为 1012。
• 同样，我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

const int invalidstate = -123456789;
const int saturatedstate = 10;
const int mod = 13;
bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return (state == saturatedstate * 100 + 0); 
}
stType nextState(stType st, int digit) {
     
    int high = st/100, low = st%100;
    if(high == 1 && digit == 3) {
     
        high = saturatedstate;
    }else if(high != saturatedstate){
     
        high = digit;
    }
    low = (low * 10 + digit) % mod;
	return high * 100 + low;
}

4、前导零状态

• 为什么要引入前导零状态？【例题5】会告诉你答案。

【例题5】如果一个数的二进制表示中 0 的个数大于等于 1，则称它为 $roundnumber$，给定一个区间 $[a,b](1\le a\le b\le 10^9)$，求其中 $roundnumber$ 的个数。

• 在这个问题中，01 和 1 是同一个数，但是 01 是符合 $roundnumber$ 的特征的，而 1 不符合，但是我们在利用数位 DP 求解的时候，如果没有处理前导零，就会把 1 误 当成 01 而统计成 $roundnumber$。
• 前缀状态 $st$ 表示：二进制表示的数前缀中，0的个数 减去 1的个数，所以状态范围为 $[-32,32]$。
• 则对于任意一个状态 st，在后面加上 0 和 1 后实现状态转移；
• 由于前导零不能作为正常零统计，所以需要加入一个初始状态，即前导零状态，只要编码不在 $[-32,32]$ 即可，可以用 $33$ 来表示；
• 我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

const int leadingzerostate = 33;
bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return (state >= 0) || (state == leadingzerostate);
}
stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(st == leadingzerostate) {
     
        if(digit == 0)
            return leadingzerostate;
        st = 0; 
    }
    return st + (digit == 0 ? 1 : -1);
}

• 状态转移如图四-4-1所示：
  

图四-4-1

• 图中绿色状态代表前导零状态，蓝色状态代表任意的合法状态。前导零状态的特点是遇到 0 则回到自己。
• 对于所有前导零会影响结果的问题，我们可以采用如下通用解法：
• 1）定义 1 个不和其它状态数字重复的 前导零状态；
• 2）状态转移的时候，如果源状态是前导零状态，在遇到下一位是零的情况，则维持前导零状态；否则，进入下一状态；
• 3）结束状态时判定如果是前导零状态，则表明这个状态表示的数就是 0，进行相应的判定。

5、位压缩状态

• 一个二进制数的每一位有两种取值 $[0,1]$，对于一些互相独立的状态，可以用一个整数来表示各个维度的组合。总共可以表示 $2^n$ 种状态。

【例题6】一个数字的十进制下的每个位都不同，则称为 $SpecialNumber$，求小于 $n(n<10^8)$ 的数的个数。

• 为了确保十进制数的每一位都不同，那么在没增加一位的时候，都需要判断新增的这个数字在之前的高位数字中有没有出现过，数字一共 10 种，有 和 没有是两种状态，所以最多就是 $2^{1}0$ 种状态。
• 前缀状态 $st$ 表示：每位数字的出现次数，例如 $st=11$ 的二进制表示为$(1011{)}_2$，代表的是0、1、3 这三个数字出现过，所以我们在进行状态转移的时候，遇到 0、1、3 只能进入非法状态。
• 实际实现可以采用位运算加速，我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

bool isValidState(stType state) {
     
    return state != leadingzerostate;
}

stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(leadingzerostate == st) {
     
        if(digit == 0)
            return leadingzerostate;
        st = 0;
    }
    if( st & (1<<digit) ) {
     
        return invalidstate;
    }
    return st | (1<<digit);
}

6、二分优化

【例题7】一个数如果至少包含 3 个 6，则称为 “beast number”，给定一个 $k$， 求第 $k$ 个 “beast number”。

• 假设 $[0,x]$ 区间内有 $g(x)$ 个满足条件的数，那么自然，$g(x)$ 是 关于 $x$ 的单调不降函数。
• 我们只需要求出满足 $g(x)\ge k$ 的最小的 $x$ 就是答案了，于是可以用 二分 $x$，数位DP 求解 $g(x)$，从而找出最小的 $x$。
• 状态编码如下：
• 状态0：前缀数字最后位不是6，且未出现过连续3个6；
• 状态1：前缀数字最后位连续6的个数为1个，且未出现过连续3个6；
• 状态2：前缀数字最后位连续6的个数为2个，且未出现过连续3个6；
• 状态3：已经出现过连续3个6，饱和状态；
• 状态转移如图四-6-1所示：
  图四-6-1
• 然后就是 二分答案 + 数位DP 判可行 了。
• 我们只需要在 【例题1】的 数位 DP 代码基础上，修改 nextstate和isEndStateValid函数即可。
• c++ 代码实现如下：

const int saturatedstate = 3;
bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return (state == saturatedstate);
}

stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(st == saturatedstate) {
     
        return saturatedstate;
    }
    if(digit == 6) {
     
        return st + 1;
    }
	return 0;
}

五、数位 DP 总结

1、状态转移图

图五-1-1

• 图五-1-1对四类状态进行了一个动态演示，接下来对这张图做一个简单的解释：
• 前导零状态●：接收 数字0 时回到自己，否则根据题意进入任意初始状态；
• 饱和状态●：接收任意数字都回到自己；
• 非法状态●：无法再进行状态转移；
• 其它状态●：进行正常状态转移的状态，可能到饱和状态，也可能到非法状态，但是无法回到前导零状态；

2、数位 DP 模板

• 关于 数位 DP 的内容到这里就全部结束了，如果还有不懂的问题可以留言告诉作者或者添加作者的微信公众号。

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• 本文所有示例代码均可在以下 github 上找到：github.com/WhereIsHeroFrom/Code_Templates

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