一、差分方程、齐次/非齐次线性差分方程、常系数线性差分方程的概念

差分方程：关于数列的形如方程，如、。

阶：形如的差分方程的阶为。

差分方程的解：若数列满足条件，则称数列是差分方程的一个解。

线性差分方程：关于数列的形如的方程，其中表示一个关于整数的函数。

常系数线性差分方程：关于数列的形如的方程，其中表示一个与整数的无关的常数。

齐次线性差分方程：在中。

非齐次线性差分方程：在中。

数列的线性相关与线性无关：对于个数列，若存在实数，成立，则称线性相关，否则称为线性无关。

二、线性差分方程的解的特点

一些记号：

记为滞后算子，即，；

记为差分算子，即。

对于线性差分方程，由于

记其中，则可将线性差分方程简记为，并在下文中简称线性差分方程为“方程”。

1、齐次线性差分方程的解的特点

若、是方程的解，则对任意，也是方程的解。

简证：这一条性质可以由解的定义直接得到。
阶齐次方程的线性无关的解有且只有个。

证明：显然，对于阶方程，若再限定定其解须满足条件，其中已知，则该方程有且只有一个解。
1. 先证明：方程的线性无关解至多有个。反设阶齐次方程的线性无关的解有个，分别为。设方阵为
  
  设向量。由于线性无关，因而矩阵的列构成的向量组线性无关，因而矩阵满秩。因此，对于关于的方程组有唯一解。设。由于，…，，根据本证明一开始时的“显然”部分可知，，从而有，因而线性相关，与题设矛盾。#
2. 再证明：先证明方程的线性无关解至少有个。反设的线性无关解只有个，分别为，且。则存在向量不能由向量组，…，线性表出。因此，前项分别为的方程的唯一解与线性无关，因而方程的线性无关解有个，与题设矛盾。#
综上所述，阶齐次方程的线性无关的解有且只有个。#
方程的解构成维线性空间。（由第一条性质+实数运算的性质可得到解构成线性空间，由第二条性质可得该线性空间是维的）

2、非齐次线性差分方程的解的特点

设方程的一个解为，则方程的解的结构为，其中是齐次方程的个线性无关的解，

3、非齐次线性差分方程的特解的计算方法

我还不知道高阶的怎么求，只知道一阶的怎么求。。。囧o(╯□╰)o

对于一阶的非齐次线性差分方程，已知其对应的齐次方程的一个解为。利用常数变易法，设非齐次方程的解为，代入非齐次方程，得，整理得，其中由于是齐次方程的解，所以，从而得到，即，累加得，其中待定。将代入非齐次方程，化简得到，因此对于任何情况，时，一定是非齐次方程的解，故取作为非齐次方程的特解，从而有。因此（成立，z_1可通过将z_2代入方程中解出）是非齐次方程的一个特解。

三、线性常系数差分方程的解法

1、如何找到齐次线性常系数差分方程的k个线性无关解

设复指数是方程的解，其中且。代入方程，化简得：

以上方程称为该差分方程的特征方程。

根据代数基本定理，特征方程有个根，且若为根，则其共轭也是特征方程的根。因而，特征方程的复根必有对应的共轭根。

若为特征方程的单根，则属于该特征根及其共轭根（虚根才有）的差分方程的复数解为。
- 若为虚数，则其对应的实数解为、，其中，，。
  证明提示：若复数为根，则复数的实部、虚部也为根。
- 若为实数，则其对应的实数解为。
若为特征方程的重根，则属于该特征根及其共轭根（虚根才有）的差分方程的复数解为，，…，。若为虚根，则其实数解为，，…，；，，…，。

证明提示：将对求导再乘以，重复该过程次（）得

由于为特征方程的重根，因而有

所以是方程的解。

2、如何找到非齐次线性常系数差分方程的特解

我也不知道如何通解。。还得请教各位。只知道为关于的多项式时，可以用待定系数法。

3、实际应用中如何解出一个线性常系数差分方程的解

a、解析解

能否解出解析解的关键问题在于，能否求出特征方程的根的解析解。理论上，5次及以上方程无求根公式，四次方程、三次方程的求根公式比较复杂，因此实际应用中方便解出的求根公式的，只有2次和1次方程。

b、数值解

用计算机近似解出个特征根，据此得到通解为，然后利用已知的个初值，得到方程组：

$\begin{pmatrix} x^{(1)}_1 & \cdots & x^{(k)}_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{(1)}_k & \cdots & x^{(k)}_k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_k \end{pmatrix}$

解得

$\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_k \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} x^{(1)}_1 & \cdots & x^{(k)}_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{(1)}_k & \cdots & x^{(k)}_k \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_k \end{pmatrix}$

然后就可以利用这个方程研究数列是否存在极限等各种性质。

差分模型理论概述