数据结构----二叉树----哈夫曼编码

1、阅读本文前，读者要对二叉树、贪心、优先队列等知识有一定了解。

2、此题比较坑，阅读之前请做好心理准备。

一、了解基本概念

1、二叉树、二叉树的构造方法、二叉树的各种遍历（不用说了吧....）

二叉树的构造与遍历

2、优先队列的使用方法

3、贪心思想、深搜算法，结构体的应用。。。

2&3的练习题

4、最优二叉树（哈夫曼树）的定义
在具有n个带权叶结点的二叉树中，使所有叶结点的带权路径长度之和（即二叉树的带权路径长度）

为最小的二叉树，称为最优二叉树（又称最优搜索树或哈夫曼树），即最优二叉树使

（Wk—第k个叶结点的权值；Pk—第k个叶结点的带权路径长度）达到最小。

如图，图中为一棵最优二叉树

5、如何构造最优二叉树

可以从上图中看出，最优二叉树的构造方法就是：每次选两个权值最小的点，将它们合并成一个点，这个点就是原来的两点的父亲。

常规方法：

假定给出n个结点ki(i=1‥n)，其权值分别为wi(i=1‥n)。要构造以此n个结点为叶结点的最优二叉树，其构造方法如下：
    首先，将给定的n个结点构成n棵二叉树的集合F={T1，T2，……，Tn}。其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为wi的根结点ki，其左、右子树均为空。然后做以下两步
      ⑴在F中选取根结点权值最小的两棵二叉树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，并且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和；
      ⑵在F中删除这两棵二叉树，同时将新得到的二叉树加入F中；
重复⑴、⑵，直到在F中只含有一棵二叉树为止。这棵二叉树便是最优二叉树。
 以上构造最优二叉树的方法称为哈夫曼（huffmann）算法。

二、题目描述

哈夫曼编码

题目描述

输入N个整数表示N个叶节点权值，构造一棵最优二叉树，从左向右输出每个叶节点的哈夫曼编码。

输入

第1行:1个整数N（N≤50）第2行：N个空格分开的整数

输出

共N行，每行表示1个叶节点的编码。

样例输入

3
1 2 4

样例输出

00
01
1

三、题目分析

先来了解一下哈夫曼编码是如何产生的：

1、通过叶节点来构造一棵二叉树（就拿样例数据来说）

2、将非叶节点的左右两条边上的权值分别标记为0和1

3、每个叶节点的哈夫曼编码就是：从根节点到该节点的路径上的权值的顺序（不能颠倒）

4、注意，最优二叉树有可能有多种情况，比如：

6

1 2 3 4 5 6

情况1：                                                              情况2：                                            情况3： 

遇到这种情况，就输出其中的一种就可以了。

哈夫曼编码的应用：主要是战争时在电报上应用，因为有的字母常用，有的字母不常用，所以将常用的字母的电报信息变短一点，有助于提高发电报的速度。

这道题主要有两个难点：

1、如何生成最优二叉树

2、如何通过遍历来生成哈夫曼编码

先来看第一个问题，

通过之前讲的最优二叉树的构造方法，我们可以定义一个结构体tree，里面包含father，leftchild，rightchild，

再用一个优先队列将所有输入数据存入进去，因为优先队列会进行自动维护，所以只需要把前两个top元素拿出来

对它们进行建树操作，将它们的和push进优先队列。

再来看看第二个问题，

其实就是一个DFS（深搜），在深搜时顺便记录下结果，到了叶节点，就把结果输出就可以了。

附上代码（类似于合并果子）

#include
#include
#include
using namespace std;
priority_queue,greater >h;
struct tree{
    int fa,l,r;
}a[2505];
int ans[105],k;
void build(int x,int y)
{
    int s=x+y;
    a[s].l=x;
    a[s].r=y;
    a[x].fa=s;
    a[y].fa=s;
}
void xxbl(int g)
{
    if(g){
        if(a[g].r==0&&a[g].l==0){
            for(int i=1;i<=k;i++)
                printf("%d",ans[i]);
            printf("\n");
        }
        ans[++k]=0;
        xxbl(a[g].l);
        k--;
        ans[++k]=1;
        xxbl(a[g].r);k--；
        ans[k]=0;
        k--;
    }
}
int main()
{
    int i,x,n,y;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        h.push(x);
    }
    for(i=1;i

这段代码看起来是对的，实际上有一个很大的漏洞：当队列中有两个元素是相同时（即使输入数据不同，也有可能出现两个小数之和为一个大数），原来的tree数组中的数值会被覆盖，导致结果多输出或少输出，并且题目要求按照输入的顺序输出哈夫曼编码，所以应该把结果存入一个aans数组，而不是直接输出。

因为不会写结构体优先队列，所以就用了一个C函数来查找最小数，

代码：

#include
#include
struct tree{
    int fa,l,r,s;
}a[115];
int n,m,path[55],ans[105],o;
char aans[55][115];
int C(int i)
{
    int j,k,min;
    min=1<<29;
    for(j=1;j<=i;j++)
        if(a[j].fa==0&&a[j].s			//回溯部分，巨坑，写了2个多小时
        o--;
        ans[o]=1;
        o++;
        xxbl(a[g].r);
        o--;
        ans[o]=0;
    }
}
int main()
{
    int i,rt;
    build(rt);
    o=0;
    xxbl(rt);
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%s\n",aans[i]);
}