本章中，将学习另外一种非线性数据结构——图。这是学习的最后一种数据结构，后面将学习排序和搜索算法。
第九章 图
图的相关术语
图是网络结构的抽象模型。图是一组由边连接的节点（或顶点）。学习图是重要的，因为在任何二元关系都可以用图来表示。
任何社交网络都可以用图来表示。
我们还可以用图来表示道路、航班以及通信状态
一个图 G= （V,E）由以下元素组成。
- V：一组顶点
- E：一组边。连接V中的顶点
由一条边连接在一起的顶点称为相邻顶点。比如，A和B 是相邻的，A和D是相邻的，A和C是相邻的，A和E是不相邻的。
一个顶点的度是其相邻顶点的数量。比如，A和其他三个顶点相连接，因此，A的度为3；E和其他两个顶点相连接，因此E的度为2.
路径是顶点v1,v2,...vk的一个连续序列，其中 vi 和 vi+1 （下标）是相邻的。以上一示意图为例，其中包含的路径A B E I 和 A C D G。
简单路径要求不包含重复的顶点。举个例子，A D G是一条简单路径。除去最后一个顶点（因为它和第一个顶点是同一个顶点），环也是简单路径，比如A D C A（最后一个顶点重新回到A）
如果途中不存在环则称该图是无环的。如果图中每两个顶点间都存在路径，则该图是连通的。
有向图和无向图
图可以是无向的（边没有方向）或是有向的（有向图）。下图就是有向图。
有向图的边有一个方向。如果图中每两个顶点间在双向上都存在路径，则该图是强连通的。例如，C和D就是强连通的。图还可以是未加权的或者加权的。加权图的边被赋予了权值。
我们可以使用图来解决计算机科学世界中的很多问题，比如搜索图中的一个特定顶点或搜索一条特定边，寻找图中的一条路径（从一个顶点到另一个顶点），寻找两个顶点之间的最短路径。
图的表示
从数据结构角度来说，我们有多种方式来表示图。在所有表示法中，不存在绝对正确的方法方式。图的正确表示法取决于解决的问题和图的类型。
邻接矩阵
图最常见的实现就是邻接矩阵。每个节点和一个整数相关联，该整数将作为数组的索引。我们用一个二维数组来表示顶点之间的连接。如果索引为i的节点和索引为 j的节点为邻，则 array[i][j] === 1,否则 array[i][j] === 0,如下图所示：
不是强连通的图（稀疏图）如果用邻接矩阵来表示，则矩阵中将会有很多0，这意味着我们浪费了计算机存储空间来表示根本不存在的边。例如，找给定顶点的相邻顶点，即使该顶点只有一个相邻的顶点，我们也不得不迭代一整行。邻接矩阵表示法不够好的另一个理由是，图中顶点的数量可能会变化，而二维数组不太灵活。
邻接表
邻接表
我们也可以使用一种叫做邻接表的动态数据来表示图。邻接表由图中每个顶点相邻顶点列表所组成。存在好几种方式来表示这种数据结构。我们可以用列表（数组）、链表，甚至是散列表或者是字典来表示相邻顶点列表。下面的示意图展示了邻接表等数据结构。
尽管邻接表可能对大多数问题来说都是更好的选择，但以上两种表示法都有用，且它们有着不同的性质（例如，要找出顶点 v和w是否相邻，使用邻接矩阵会比较快）。在本章中，就会使用邻接表表示法。
关联矩阵
我们还可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中，矩阵的行表示顶点，列表示边。如下图所示，我们使用二维数组来表示两者之间的连通性，如果顶点 v 是 边e的入射点，则 array[v][e] === 1,否则 array[v][e] === 0。
创建 Graph 类
我们先创建类的骨架
function Graph(){
var vertices = [];
var adjList = new Dictionary();
}我们使用一个数组来存储图中所有顶点的名字，以及一个字典来存储邻接表。字典将会使用顶点的名字作为键，邻接顶点列表作为值。 vertices数组和 adjList字典两者都是我们 Graph类的私有属性。
接着我们实现两个方法：一个用来向图中添加一个新的顶点（因为图实例化后是空的），另外一个方法用来添加顶点之间的边。我们先实现 addVertex 方法
this.addVertex = function(v){
vertices.push(v);
adjList.set(v,[]);
}这个方法接受顶点 v 作为参数。我们将该顶点添加到顶点列表中，并且在邻接表中，设置顶点 v 作为键对应的字典值为一个空数组。
实现 addEdge 方法
this.addEdge = function(v,w){
adjList.get(v).push(w);
adjList.get(w).push(v);
}这个方法接受两个顶点作为参数。首先，通过将 w 加入到 v 的邻接表中，我们添加了一条自顶点 v 到顶点 w 的边。如果你想实现一个有向图，则（adjList.get(v).push(w)）就足够了。但是本章中大多数的例子都是基于无向图，我们需要添加一条自w向v的边。
测试
const graph = new Graph();
const myVertices = ['A','B','C','D','E','F','G','H','I'];
for(var i = 0; i < myVertices.length; i++){
graph.addVertex(myVertices[i]);
}
graph.addEdge('A','B');
graph.addEdge('A','C');
graph.addEdge('A','D');
graph.addEdge('C','D');
graph.addEdge('C','G');
graph.addEdge('D','G');
graph.addEdge('D','H');
graph.addEdge('B','E');
graph.addEdge('B','F');
graph.addEdge('E','I');实现 Graph类的 toString 方法，便于在控制台输出图
this.toString = function(){
var s = '';
for(var i = 0; i < vertices.length; i++){
s += vertices[i] + ' -> ';
var neighbors = adjList.get(vertices[i]);
for(var j = 0; j < neighbors.length; j++){
s += neighbors[j] + ' ';
}
s += '\n';
}
return s;
}我们为邻接表表示法构建了一个字符串，首先迭代 vertices 数组列表，将顶点的名字加入字符串中，接着取得该顶点的邻接表，同样也迭代该邻接表，将相邻顶点加入我们的字符串。邻接表迭代完成后，给我们的字符串添加一个换行符。这样就可以在控制看到一个漂亮的输出了。
A -> B C D
B -> A E F
C -> A D G
D -> A C G H
E -> B I
F -> B
G -> C D
H -> D
I -> E 图的遍历
和树数据结构相似，我们可以访问图的所有节点。有两种算法可以对图进行遍历：广度优先搜索（Breadth-First Search,BFS）和深度优先搜索（Depth-First Search,DFS）。图遍历可以用来寻找特定的顶点或者是寻找两个顶点之间的路径，检查图是否连通，检查图是否含有环等。
图遍历算法的思想是必须追踪每个第一次访问的节点，并且追踪有哪些节点还没有被完全探索，对于两种图遍历算法，都需要明确指出第一个被访问的节点。
完全探索一个顶点要求我们查看该顶点的每一条边。对于每一条边所连接的没有被访问过的顶点，将其标注为被发现的，并将其加入待访问的顶点。
为了保证算法的效率，务必访问每个顶点至多两次。连通图中每条边和顶点都会被访问到。
广度优先搜索算法和深度优先搜索算法基本上是相同的，只有一点不同，那就是待访问顶点列表的数据结构。
| 算法 | 数据结构 | 描述 |
|---|---|---|
| 深度优先搜索 | 栈 | 通过将顶点存入栈中，顶点是沿着路径被探索的，存在新的相邻顶点就去访问 |
| 广度优先搜索 | 队列 | 通过将顶点存入队列，最先入队列的顶点先被探索 |
当要标注已经访问过的顶点时，我们可以用三种颜色来放映它们的状态
- 白色：表示该顶点还没有被访问
- 灰色：表示该顶点被访问过，但是还没有探索过
- 黑色：表示该顶点被访问过且被完全探索过
广度优先搜索
广度优先搜索算法会从指定的第一个顶点开始遍历图，会访问其所有相邻点，就像一次访问图的一层。换句话说，就是先宽后深地访问顶点，如下图所示
以下是从顶点 v 开始的广度优先搜索算法所遵循的步骤
- 创建一个队列 Q
- 将 v 标注为被发现的（灰色），并将 v 入队列Q
- 如果队列Q 非空，则运行以下步骤
- 将 u 从 Q 中出队列
- 将标注 u 为被发现的（灰色）
- 将 u 所有未被访问过的邻点（白色）入队列
- 将 u 标注为已被探索的（黑色）
实现广度优先搜索算法
// 颜色辅助-广度优先搜索算法
this.initializeColor = function(){
var color = [];
for(var i = 0; i < vertices.length; i++){
color[vertices[i]] = 'white';
}
return color;
}
// 广度优先搜索算法
this.bfs = function(v,callback){
var color = this.initializeColor(),
queue = new Queue();
queue.enqueue(v);
while(!queue.isEmpty()){
var u = queue.dequeue(),
neighbors = adjList.get(u);
color[u] = 'grey';
for(var i = 0; i < neighbors.length; i++){
var w = neighbors[i];
if(color[w] === 'white'){
color[w] = 'grey';
queue.enqueue(w);
}
}
color[u] = 'black';
if(callback){
callback(u)
}
}
}广度优先搜索和深度优先搜索多需要标注被访问过的顶点，为此，我们将使用一个辅助数组 color,由于当算法开始执行时，所有的顶点颜色都是白色，所以我们可以创建一个辅助函数 initializeColor 为这两个算法执行此初始化操作。
我们要的第一件事情是用 initializeColor 函数来将 color 数组初始化为 white ,我们还需要声明和创建一个 Queue 实例，它将会存储待访问和待探索的顶点。
bfs 方法接受一点顶点作为算法的起始点。起始顶点是必要的，我们将此顶点如队列。
如果队列为空，我们将通过出队列操作从队列中移除一个顶点，并取得一个包含其所有邻点的邻接表。该顶点将被标注为 grey,表示我们已经发现了它（但还未被完全对其的探索）。
对于 u 的每个邻点，我们取得其值，如果它还未被访问过，则将其标注了grey,并将这个顶点加入队列中，这样当从队列中出列的时候，我们可以完成对其的探索。
当完全探索该顶点和及其邻点后，我们将标注该顶点为已探索过（黑色）。
我们实现的这个 bfs 方法也接受一个回调。这个参数是可选的，如果我们传递了回调函数，会用到它。
测试
function printNode(value){
console.log('访问了顶点：' + value);
}
graph.bfs(myVertices[0],printNode);得到下面的结果
访问了顶点：A
访问了顶点：B
访问了顶点：C
访问了顶点：D
访问了顶点：E
访问了顶点：F
访问了顶点：G
访问了顶点：H
访问了顶点：I顶点访问顺序和之前的示意图所展示的一致。
使用 BFS 寻找最短路径
到目前为止，我们只展示了 BFS 算法的基本原理。我们可以用该算法做更多事情，而不只是输出被访问顶点的顺序。例如，考虑如何来解决下面的问题。
给定一个图G和源顶点v，找出每个顶点u,u和v之间最短的路径（以边的数量计）
对于给定顶点v，广度优化算法会访问所有与其距离为1的顶点，接着是距离为2的顶点，以此类推。所以，可以用广度优先算法来解决这个问题。我们可以修改bfs方法以返回给我们一些信息：
- 从v到u的距离d[u]
- 前溯点pred[u],用来推导出从v到其他每个顶点u的最短路径。
实现：
// 广度优先搜索算法优化版本
this.BFS = function(v){
var color = this.initializeColor(),
queue = new Queue(),
d = [],
pred = [];
queue.enqueue(v);
for(var i = 0; i < vertices.length; i++){
d[vertices[i]] = 0;
pred[vertices[i]] = null;
}
while(!queue.isEmpty()){
var u = queue.dequeue();
neighbors = adjList.get(u);
color[u] = 'grey';
for(var i = 0; i < neighbors.length; i++){
// w相邻顶点
var w = neighbors[i];
if(color[w] === 'white'){
color[w] == 'grey';
d[w] = d[u] + 1;
pred[w] = u;
queue.enqueue(w);
}
}
color[u] = 'black';
}
return {
distance:d,
predecessors: pred
}
}首先需要声明数组 d 来表示距离，以及 pred 数组来表示前溯点。下一步用0来初始化数组d，把pred赋值为 null。
当我们发现 顶点u的相邻点w时，则设置w的前溯点值为u。我们还通过给d[u]加1来设置顶点v和相邻点w之间的距离。
方法的最后返回一个包含d和pred的对象。
测试
var shortestPathA = graph.BFS(myVertices[0]);
console.log(shortestPathA);
// distance: [A: 0, B: 1, C: 1, D: 2, E: 2, F: 2, G: 2, H: 3, I: 3]
// predecessors: [A: null, B: "A", C: "A", D: "C", E: "B", F: "B",G: "D", , H: "D", , I: "E"]通过前溯数组，我们可以用下面这段代码来构建从顶点A到其他顶点的路径：
var fromVertex = myVertices[0];
for(var i = 1; i < myVertices.length; i++){
var toVertex = myVertices[i],
path = new Stack();
for(var v = toVertex; v !== fromVertex;v = shortestPathA.predecessors[v]){
path.push(v);
}
path.push(fromVertex);
var s = path.pop();
while(!path.isEmpty()){
s += '-' + path.pop();
}
console.log(s);
}使用顶点A作为源顶点。对于每个其他顶点，我们会J计算顶点A到它的路径。我们从顶点数组得到toVertex ，然后会创建一个栈来 存储路劲值。
接着，我们追溯 toVertext 到 fromVertext 的路径。变量v被赋值为前溯点的值。这样我们就可以方向追溯这条路径。将变量v添加到栈中。最后，源顶点也会被添加到栈中，以得到完整的路径。
这之后，我们创建了一个s字符串，并将源顶点赋值给它。当栈是非空的时候，我们从栈中移出一个项并将其拼接到字符串s的后面。最后在控制台上输出路径。
A-B
A-C
A-C-D
A-B-E
A-B-F
A-C-D-G
A-C-D-H
A-B-E-I深入学习的最短路径算法
本章中的图不是加权图。如果要计算加权图中的最短路径（例如，城市A 和城市B之间的最短路径——GPS和Google Map 中用到的算法），广度优先搜索未必合适。
举个栗子，Dijkstra 算法解决了单源中最短路径问题。Bellman-Ford 算法解决了边权值为负的单源最短路径问题。A*搜索算法解决了求仅一对顶点间的最短路径问题，它用经验法则来加速搜索过程。Floyd-Warshall算法解决了求所有顶点对间的最短路径的这一问题。
图是一个广泛的主体，对最短路径及其变种问题，我们有很多的解决方案。
深度优先搜索
深度优先搜索算法将会从第一个指定的顶点开始遍历图，沿着路径直到这条路径最后一个顶点被访问了，接着原路返回并探索下一条路径。换句话说，它是先深度后广度地访问顶点，如下图所示
深度优先搜索算法不需要一个源顶点。在深度优先搜索算法中，若图中顶点v未被访问，则访问该顶点。
要访问顶点v,照下列的步骤
- 标注v为被发现的（灰色）
- 对于v的所有未访问的邻点w，访问顶点w，标注v为已被探索的（黑色）
实现
// 深度优先探索算法
this.dfs = function(callback){
var color = this.initializeColor();
for(var i = 0 ; i < vertices.length; i++){
if(color[vertices[i]] === 'white' ){
this.dfsVisit(vertices[i],color,callback);
}
}
}
this.dfsVisit =function(u,color,callback){
color[u] = 'grey';
if(callback){
callback(u);
}
var neighbors = adjList.get(u);
for(var i = 0 ;i < neighbors.length; i++){
var w = neighbors[i];
if(color[w] === 'white'){
arguments.callee(w,color,callback);
}
}
color[u] = 'black';
}首先，我们创建了颜色数组，并用值white 为图中的每个顶点对其进行了初始化，广度优先搜索也是这么做的。接着，对于图实例中每一个未被访问过的顶点，我们调用递归函数 dfsVisit ，传递的参数为顶点、颜色数组和回调函数。
当访问u顶点时，我们标注其为被发现的grey。如果有callback 函数的话，则执行该函数输出已访问过的顶点。接下来一步是取得包含顶点u的所有邻点的列表。对于顶点u的每一个未被访问过的邻点w，我们将调用dfsVisit 函数，传递w和其他参数。最后，在该2顶点和邻点按深度访问之后，我们回退，意思是该顶点已经被完全探索了，并将其标注为black
测试
graph.dfs(printNode);
// 访问了顶点：A
// 访问了顶点：B
// 访问了顶点：E
// 访问了顶点：I
// 访问了顶点：F
// 访问了顶点：C
// 访问了顶点：D
// 访问了顶点：G
// 访问了顶点：H下面这个示意图展示了该算法每一步的执行过程
探索深度优化算法
我们现在只是展示了深度优先搜索算法的工作原理。我们可以用该算法做更多的事情，而不是只输出被访问顶点的顺序。
对于给定的图G，我们希望深度优先探索算法遍历图G的所有节点，构建“深林”（有根树的一个集合）已经一组源顶点（根），并输出两个数组:发现时间和完成探索时间。我们可以修改 dfs 方法来返回给我们一些信息：
- 顶点u的发现时间d[u]
- 当顶点u被标注为黑色时，u的完成探索时间f[u]
- 顶点u的前溯点p[u]
// 追踪发现事件和完成探索时间
var time = 0;
// 深度优先探索算法优化版本
this.DFS = function(){
var color = this.initializeColor(),
d = [],
f = [],
p = [];
time = 0;
for(var i = 0; i < vertices.length; i++){
f[vertices[i]] = 0;
d[vertices[i]] = 0;
p[vertices[i]] = null;
}
for(i = 0; i< vertices.length; i++){
if(color[vertices[i]] === 'white'){
this.DFSVisit(vertices[i],color,d,f,p)
}
}
return {
discovery:d,
finished:f,
predecessors:p
}
}
this.DFSVisit = function(u,color,d,f,p){
console.log('发现了'+u);
color[u] = 'grey';
d[u] = ++time;
var neighbors = adjList.get(u);
for(var i = 0; i < neighbors.length; i++){
var w = neighbors[i];
if(color[w] === 'white'){
p[w] = u;
arguments.callee(w,color,d,f,p);
}
}
color[u] = 'black';
f[u] = ++time;
console.log('探索了'+u);
}首先我们需要一个变量来追踪发现时间和完成探索时间。时间变量不能被作为参数传递，因为非对象的变量不能作为引用传递给其他Js方法。接下来，我们声明数组d、f和p。我们需要为图的每一个顶点来初始化这些数组。在这个方法结尾返回这些值。
当一个顶点第一次被发现时，我们要追踪其发现时间。当它是由引自顶点u的边而被发现的。我们追踪它的前溯点。最后，当这个顶点被完全探索之后，我们追踪其完成时间。
深度优先算法背后的思想是什么？
边是从最近发现的u处被向外探索的。只有连接到未发现的顶点的边被探索了。当u所有的边都被探索了，该算法返回u被发现的地方去探索其他的边。这个过程持续到我们发现了虽偶有从原始顶点能够触及的顶点。如果还留有其他未被发现的顶点。我们对新的源顶点将重复这个过程。直到图中所有的顶点都被探索了。
测试
var deepPath = graph.DFS();
console.log(deepPath);
/**
发现了A
发现了B
发现了E
发现了I
探索了I
探索了E
发现了F
探索了F
探索了B
发现了C
发现了D
发现了G
探索了G
发现了H
探索了H
探索了D
探索了C
探索了A
discovery: [A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4]
finished: [A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5]
predecessors: [A: null, B: "A", C: "A", D: "C", E: "B", G: "D", H: "D", I: "E"]
*/ 小结
本章学习了几种不同的方式来表示图这一数据结构。并实现了用邻接表表示图的算法。还学习了广度优先搜索和深度优先搜索的实际应用。
书籍链接： 学习JavaScript数据结构与算法