数学建模基础知识

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1 数学建模

1.1 意义

常见比赛：美赛、国赛（高教社杯）、亚太、深圳杯等
意义：简历上的更新，个人技能的实际提升。

1.2 数学建模方法分类

1、按照模型的数学方法分，有几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等。
2、按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等。
3、按模型的应用领域分，有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4、按建模的目的分，有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5、按对模型结构的了解程度分，有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

1.3 数学建模十大方法

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法）

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）

3、法线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用进化算法轻易解决）

4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决）

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）

6、最优化理论的非经典算法：粒子群算法、差分进化算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，是常用的方法）

7、网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案）

8、一些连续离散方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。可以考虑将连续优化映射成离散优化）

9、数值分析算法（这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的）

10、图像处理算法（一般用深度学习处理图像，可以调用python包来处理）

1.4 数学建模步骤

第一步:提出问题.

将题目进行假设转化成数学问题

第二步:选择方法

依据自身知识储备或者文献选择合适的方法

第三步:建立模型

对建立的问题进行变形，推导，转化为可以运行标准方法解答的形式

第四步:求解模型
数据和统计：Excel，SPSS，Stata等
编程：MATLAB，Python等

第五步:总结
整理论文，图表

2 常见建模方法

一法通则万法通。实际上，只有完全掌握一种算法，并可以依据不同问题改进数据结构，对结果做出映射就可以应对大部分问题。

2.1 预测与预报

1、灰色预测模型
满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或曲线的形式
2、微分方程预测
无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3、回归分析预测
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化；
样本点的个数有要求：
①自变量之间的协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
③因变量要符合正态分布
4、马尔科夫预测
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响
5、时间序列预测
与马尔科夫链预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等
6、小波分析预测
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据，应用范围比较广
7、神经网络预测
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的办法
8、混沌序列预测
比较难掌握，数学功底要求高

2.2 评价与决策

1、模糊综合评判（常用）
评价一个对象优良中差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
2、主成分分析（常用）
评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强
3、层次分析法（AHP）（常用）
做决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑做决策
4、数据包络（DEA）分析法
优化问题，对各省发展状况进行评判
5、秩和比综合评价法（经常用，需掌握）
评价各个对象并排序，指标间关联性不强
6、优劣解距离法（TOPSIS法）
7、投影寻踪综合评价法
揉合多种算法，比如遗传算法、最优化理论等
8、方差分析、协方差分析等（常用）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年，作物生长的施肥效果问题）
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价及预测问题）

2.3 分类与判别

常用机器学习的分类器

1、距离聚类（系统聚类）（常用）
2、关联性聚类（常用）
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（统计判别方法）
7、费舍尔判别（训练的样本比较多）
8、模糊识别（分好类的数据点比较少）

2.4 关联与因果

1、灰色关联分析方法（样本点的个数比较少）
2、Sperman或Kendall等级相关分析
3、Person相关（样本点的个数比较多）
4、Copula相关（比较难，金融数学，概率数学）
5、典型相关分析（因变量组Y1234，自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）难
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的x对今年的y有没有影响

2.5 优化与控制

常用最优化理论中的进化算法

1、线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
2、非线性规划与智能优化算法
3、多目标规划和目标规划（柔性约束，目标函数，超多目标）
4、动态规划
5、网络优化（多因素交错复杂）
6、排队论与计算机仿真
7、模糊规划（范围约束）
8、灰色规划

3 写作与数据

3.1 写作

论文：建议使用latex写作而不是使用word，使用latex可以事先排版，节约时间。国赛可以使用CTeX 中文套装，美赛可以使用MiKTeX和winedt10.2

标题
【摘要】
【关键词】
  
一、问题重述

二、问题分析

三、模型假设

四、模型建立与求解

五、评价与推广

附录:
所有代码

作图：可以使用visio或者AI作图，也可以使用MATLAB等软件生成的图

3.2 数据

文献
参加国赛可以免费使用知网

谷歌学术是最方便获取文献的地方。

英文论文修改：http://www.1checker.com/
　
美国普查局： http://2010.census.gov/2010census/language/chinese-simplified.php　　
美国交通统计局：http://www.bts.gov　　
美国劳工统计局：http://stats.bls.gov　　
美国国家农业统计署：http://www.usda.gov/wps/portal/usda/usdahome　　
DOAJ: http://www.doaj.org　　
Open J-Gate: http://www.openj-gate.com/Search/QuickSearch.aspx　　
Oaister: http://www.oclc.org/oaister　　
arXiv: http://cn.arxiv.org　　
美国人口统计局：http://www.census.gov/　　
联合国数据中心：http://www.un.org/zh/databases　　
联合国农粮组织统计数据库：http://faostat3.fao.org/home/E

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