数学建模基础知识

数学建模基础知识

  • 1 数学建模
    • 1.1 意义
    • 1.2 数学建模方法分类
    • 1.3 数学建模十大方法
    • 1.4 数学建模步骤
  • 2 常见建模方法
    • 2.1 预测与预报
    • 2.2 评价与决策
    • 2.3 分类与判别
    • 2.4 关联与因果
    • 2.5 优化与控制
  • 3 写作与数据
    • 3.1 写作
    • 3.2 数据


1 数学建模

1.1 意义

常见比赛:美赛、国赛(高教社杯)、亚太、深圳杯等
意义:简历上的更新,个人技能的实际提升。

1.2 数学建模方法分类

1、按照模型的数学方法分,有几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等。
2、按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等。
3、按模型的应用领域分,有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4、按建模的目的分,有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5、按对模型结构的了解程度分,有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

1.3 数学建模十大方法

1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法)

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具)

3、法线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用进化算法轻易解决)

4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决)

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中)

6、最优化理论的非经典算法:粒子群算法、差分进化算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,是常用的方法)

7、网格算法和穷举法(当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案)

8、一些连续离散方法(很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。可以考虑将连续优化映射成离散优化)

9、数值分析算法(这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的)

10、图像处理算法(一般用深度学习处理图像,可以调用python包来处理)

1.4 数学建模步骤

第一步:提出问题.

将题目进行假设转化成数学问题

第二步:选择方法

依据自身知识储备或者文献选择合适的方法

第三步:建立模型

对建立的问题进行变形,推导,转化为可以运行标准方法解答的形式

第四步:求解模型
数据和统计:Excel,SPSS,Stata等
编程:MATLAB,Python等

第五步:总结
整理论文,图表

2 常见建模方法

一法通则万法通。实际上,只有完全掌握一种算法,并可以依据不同问题改进数据结构,对结果做出映射就可以应对大部分问题。

2.1 预测与预报

1、灰色预测模型
满足两个条件可用:
①数据样本点个数少,6-15个
②数据呈现指数或曲线的形式
2、微分方程预测
无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。
3、回归分析预测
求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化;
样本点的个数有要求:
①自变量之间的协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小;
②样本点的个数n>3k+1,k为自变量的个数;
③因变量要符合正态分布
4、马尔科夫预测
一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相互不影响
5、时间序列预测
与马尔科夫链预测互补,至少有2个点需要信息的传递,ARMA模型,周期模型,季节模型等
6、小波分析预测
数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;可以做时间序列做不出的数据,应用范围比较广
7、神经网络预测
大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的办法
8、混沌序列预测
比较难掌握,数学功底要求高

2.2 评价与决策

1、模糊综合评判(常用)
评价一个对象优良中差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
2、主成分分析(常用)
评价多个对象的水平并排序,指标间关联性很强
3、层次分析法(AHP)(常用)
做决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑做决策
4、数据包络(DEA)分析法
优化问题,对各省发展状况进行评判
5、秩和比综合评价法(经常用,需掌握)
评价各个对象并排序,指标间关联性不强
6、优劣解距离法(TOPSIS法)
7、投影寻踪综合评价法
揉合多种算法,比如遗传算法、最优化理论等
8、方差分析、协方差分析等(常用)
方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产量有无影响,差异量的多少;(1992年,作物生长的施肥效果问题)
协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因素,但注意初始数据的量纲及初始情况。(2006年,艾滋病疗法的评价及预测问题)

2.3 分类与判别

常用机器学习的分类器

1、距离聚类(系统聚类)(常用)
2、关联性聚类(常用)
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别(统计判别方法)
7、费舍尔判别(训练的样本比较多)
8、模糊识别(分好类的数据点比较少)

2.4 关联与因果

1、灰色关联分析方法(样本点的个数比较少)
2、Sperman或Kendall等级相关分析
3、Person相关(样本点的个数比较多)
4、Copula相关(比较难,金融数学,概率数学)
5、典型相关分析(因变量组Y1234,自变量组X1234,各自变量组相关性比较强,问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
6、标准化回归分析
若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析(事件史分析)难
数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学,去年的x对今年的y有没有影响

2.5 优化与控制

常用最优化理论中的进化算法

1、线性规划、整数规划、0-1规划(有约束,确定的目标)
2、非线性规划与智能优化算法
3、多目标规划和目标规划(柔性约束,目标函数,超多目标)
4、动态规划
5、网络优化(多因素交错复杂)
6、排队论与计算机仿真
7、模糊规划(范围约束)
8、灰色规划

3 写作与数据

3.1 写作

论文:建议使用latex写作而不是使用word,使用latex可以事先排版,节约时间。国赛可以使用CTeX 中文套装,美赛可以使用MiKTeX和winedt10.2

标题
【摘要】
【关键词】
  
一、问题重述

二、问题分析

三、模型假设

四、模型建立与求解

五、评价与推广

附录:
所有代码

作图:可以使用visio或者AI作图,也可以使用MATLAB等软件生成的图

3.2 数据

文献
参加国赛可以免费使用知网

谷歌学术是最方便获取文献的地方。

英文论文修改:http://www.1checker.com/
 
美国普查局: http://2010.census.gov/2010census/language/chinese-simplified.php  
美国交通统计局:http://www.bts.gov  
美国劳工统计局:http://stats.bls.gov  
美国国家农业统计署:http://www.usda.gov/wps/portal/usda/usdahome  
DOAJ: http://www.doaj.org  
Open J-Gate: http://www.openj-gate.com/Search/QuickSearch.aspx  
Oaister: http://www.oclc.org/oaister  
arXiv: http://cn.arxiv.org  
美国人口统计局:http://www.census.gov/  
联合国数据中心:http://www.un.org/zh/databases  
联合国农粮组织统计数据库:http://faostat3.fao.org/home/E


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