PCA(Principal Component Analysis)降维算法讲解

算法概述：

主成分分析或者主元分析是一种掌握毐主要矛盾的统计分析方法，它可以从多元事务中解析出主要影响因素。简单来说，就是将高维的数据集映射到低维的空间之中，同时尽可能的保留更多的变量。

前置芝士：

1.向量内积
2.投影
3.基
4.方差
5.协方差
6.矩阵特征值，特征向量
7.矩阵对角化
墙裂推荐知乎大佬托比欧对于线性代数知识的讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/113501803

算法过程：

首先我们想要实现降维操作，如二维变成一维度，我们必须找到一组基，将向量投影到这个基上，我们得到的结果就是降维后的结果。

首先第一步我们要将各个维度上的值减去其均值！！！（方便后面求方差、标准差）

方差：

但是如何知道我们选这组基的好坏呢（因为在降维的过程中肯定伴随着数据的丢失 例如：二维映射到一维上会有重叠的点）？
对降维后的点求其该维度上的方差，其方差越大表示数据的离散程度越高，重叠的点就越少，降维的效果就更好。方差的公式定义为：

协方差：

对于上面二维降成一维的问题来说，找到那个使得方差最大的方向就可以了。不过对于更高维，还有一个问题需要解决。考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。
如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因此，应该有其他约束条件。从直观上说，让两个维度尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个维度不是完全独立，必然存在重复表示的信息。
数学上可以用两个字段的协方差表示其相关性，由于已经让每个维度均值为0（见第一步），则协方差定义为：

协方差矩阵优化：

假设我们只有a和b两个维度，那么我们将它们按行组成矩阵X

我们取 $X^{\ast }{X}^T$ 得到：

奇迹出现了！这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。两者被统一到了一个矩阵的。
根据矩阵相乘的运算法则，这个结论很容易被推广到一般情况：
设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设$C=\frac{1}{m}{X}^{\ast }{X}^T$，则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差。

**总结一下：**协方差为0保证了不同维度之间没有相关性。方差尽可能的大保证了同维度间的数据尽可能分散不重叠。

协方差矩阵对角化：

根据上述推导，我们发现要达到优化目前，等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列(因为协方差均为0，所以保证方差最大就好了)，这样我们就达到了优化目的。这样说可能还不是很明晰，我们进一步看下原矩阵与基变换后矩阵协方差矩阵的关系：

设原始数据矩阵X对应的协方差矩阵为C，而P是一组基按行组成的矩阵，设Y=PX，则Y为X对P做基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D，我们推导一下D与C的关系：

现在事情很明白了！我们要找的P不是别的，而是能让原始协方差矩阵对角化的P。换句话说，优化目标变成了寻找一个矩阵P，满足$PC{P}^T$是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列。如果我们想降到K维，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。

现在所有焦点都聚焦在了协方差矩阵对角化问题上，矩阵对角化在线性代数领域已经属于被玩烂了的东西，所以这在数学上根本不是问题。
由上文知道，协方差矩阵C是一个是对称矩阵，在线性代数上，实对称矩阵有一系列非常好的性质：
1）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。
2）设特征向量λ重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于λ，因此可以将这r个特征向量单位正交化。

由上面两条可知，一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量 $e_1$ $e_2$…$e_n$ ，设这n个特征向量为:
$E=\left(e_1^T,e_2^T\dots e_n^T\right)$

则对协方差矩阵C有如下结论：

其中Λ为对角矩阵，其对角元素为各特征向量对应的特征值（可能有重复）。

到这里，我们发现我们已经找到了需要的矩阵P：

P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。如果设P按照Λ中特征值的从大到小(也就是按照P所对应的特征值从大到小)，将特征向量从上到下排列。则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵res。