欧氏空间——实对称矩阵的标准形

本节目的:

讨论一类必可相似对角化的矩阵: 实对称矩阵.

证明: 若 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 则

• (1) $A$ 的特征值都是实数.
• (2) 互异特征值的特征向量必然彼此正交.
• (3) 存在 $n$ 阶正交矩阵 $C$ 使得 $C^{-1}AC=C^{T}AC$ 为对角阵.

给出实对称矩阵正交对角化的方法.

实对称矩阵

复数及其性质: ${\mathbf{i}}^2=-1,\mathbf{i}:$ 虚单位 $z=\mathbf{a}+b\mathbf{i},\mathbf{a}:$ 实部, $b:$ 虚部

设 $z_1=a_1+b_1\mathbf{i},\cdots ,z_n=a_n+b_n\mathbf{i}$

复数运算: 加法, 乘法
$$z_1+z_2=\left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)\mathbf{i},z_1\cdot z_2=\left(a_1{a}_2-b_1{b}_2\right)+\left(a_1{b}_2+a_2{b}_1\right)\mathbf{i}$$
复共地: $\overline{z_1}=a_1-b_1\mathbf{i}$,
$$\overline{z_1+\cdots +z_n}=\overline{z_1}+\cdots +\overline{z_n}$$
$$\overline{z_1\cdots \cdots z_n}=\overline{z_1}\cdots \cdots \overline{z_n}$$

模:
$$\begin{array}{ll}\left|z_1\right|=\sqrt{z_1\overline{z_1}}=\sqrt{a_1^2+b_1^2}\ge 0& \overline{z_1}{z}_1=0\iff z_1=0\\ \overline{z_1}\cdot z_1+\cdots +\overline{z_n}\cdot z_n=0\iff z_1=\cdots =z_n=0& \end{array}$$
共轭矩阵: 设 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n},\alpha ={\left(z_1,\cdots ,z_n\right)}^T,a_{ij},z_i\in \mathbb{C}.\bar{A}={\left(\overline{a_{ij}}\right)}_{m\times n}$ 称为 $A$ 的共轭矩阵.
$$\begin{array}{ll}\text{ (1) }\overline{A^T}={\bar{A}}^T& \text{ (2) }\overline{kA}=\bar{k}\bar{A}\\ \text{ (3) }\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}& \text{ (4) }\overline{{\alpha }^T}\alpha =0\iff \alpha =(0,\cdots ,0{)}^T\\ \text{ 证月: (4) }0=\overline{{\alpha }^T}\alpha =\left(\overline{z_1},\cdots ,\overline{z_n}\right)\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right)=\overline{z_1}{z}_1+\cdots +\overline{z_n}{z}_n\iff z_1=\cdots =z_n=0& \\ \iff \alpha =(0,\cdots ,0{)}^T& \end{array}$$
定理1.实对称矩阵的特征值都是实数. $\lambda =\bar{\lambda }$ ?

证明: 设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},A^T=A,\alpha \ne 0,A\alpha =\lambda \alpha .$
$$\begin{array}{lllc}A\alpha =\lambda \alpha & \Rightarrow \overline{A\alpha }=\overline{\lambda \alpha }& \Rightarrow \bar{A}\bar{\alpha }=\bar{\lambda }\bar{\alpha }& 取共轭\\ & \Rightarrow {\bar{\alpha }}^T{\bar{A}}^T=\bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^T& \Rightarrow {\bar{\alpha }}^{T}A=\bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^T& 取转置\\ & \Rightarrow {\bar{\alpha }}^{T}A\alpha =\bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^T\alpha & \Rightarrow \lambda {\bar{\alpha }}^{-T}\alpha =\bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^T\alpha & \text{ 右乘 }\alpha \\ & \Rightarrow (\lambda -\bar{\lambda }){\bar{\alpha }}^{-T}\alpha =0& \Rightarrow \lambda =\bar{\lambda }.& \alpha \ne 0\Rightarrow {\bar{\alpha }}^T\alpha >0\end{array}$$

推论. 实对称矩阵 $A$ 的任一特征子空间都有一组由实向量构成的基.

定理2. 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交.

证：设非零实向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别是实对称矩阵 $A$ 两个不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量,则
$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2$$

$$\begin{array}{lll}A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1& \Rightarrow {\alpha }_1^T{A}^T={\lambda }_1{\alpha }_1^T& \Rightarrow {\alpha }_1^{T}A={\lambda }_1{\alpha }_1^T取转置\\ & \Rightarrow {\alpha }_1^{T}A{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_1^T{\alpha }_2& \Rightarrow {\lambda }_2{\alpha }_1^T{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_1^T{\alpha }_2\text{ 右乘 }{\alpha }_2\\ & \Rightarrow \left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right){\alpha }_1^T{\alpha }_2=0& \Rightarrow \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)={\alpha }_1^T{\alpha }_2=0\\ & & {\lambda }_1\ne {\lambda }_2\end{array}$$

此即不同特征值的实特征向量是彼此正交的.

对称变换

对称变换 :若欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=(\alpha ,\mathcal{A}\beta ),\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n.$

反对称变换 : \quad 若欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=-(\alpha ,\mathcal{A}\beta ),\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n.$

设 $A$ 是实对称矩阵,规定 ${\mathbb{R}}^n$ 上线性变换 $\mathcal{A}$ 如下: $\mathcal{A}:\alpha \mapsto A\alpha ,\forall \alpha \in {\mathbb{R}}^n$

则 $\mathcal{A}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的对称变换. $\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n:$
$$(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=(A\alpha ,\beta )=(A\alpha {)}^T\beta ={\alpha }^T{A}^T\beta ={\alpha }^{T}A\beta =(\alpha ,A\beta )=(\alpha ,\mathcal{A}\beta )$$
$\Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\beta )=(\alpha ,\mathcal{A}\beta ),\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n\Rightarrow \mathcal{A}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的对称变换.

定理. 设 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵为 $A$, 则$\mathcal{A}$ 是对称变换 $\iff A$ 是对称矩阵.

证明：设 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵为 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\Rightarrow$
$$\begin{array}{c}\mathcal{A}\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)=\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)A\\ \Rightarrow \left(\mathcal{A}{\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=\left(a_{1i}{\alpha }_1+\cdots +a_{ni}{\alpha }_n,{\alpha }_j\right)=a_{ji}\\ \Rightarrow \left({\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_j\right)=\left({\alpha }_i,a_{1j}{\alpha }_1+\cdots +a_{nj}{\alpha }_n\right)=a_{ij}\end{array}$$
$\mathcal{A}$ 是对称变换 $\iff \left(\mathcal{A}{\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=\left({\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_j\right),\forall 1\le i,j\le n\iff a_{ji}=a_{ij},\forall 1\le i,j\le n$$\iff A$ 是对称矩阵

定理. 设 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵为 $A$, 则$\mathcal{A}$ 是对称变换 $\iff A$ 是对称矩阵.

证明：设 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵为 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\Rightarrow$
$$\begin{array}{c}\mathcal{A}\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)=\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)A\\ \Rightarrow \left(\mathcal{A}{\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=\left(a_{1i}{\alpha }_1+\cdots +a_{ni}{\alpha }_n,{\alpha }_j\right)=a_{ji}\\ \Rightarrow \left({\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_j\right)=\left({\alpha }_i,a_{1j}{\alpha }_1+\cdots +a_{nj}{\alpha }_n\right)=a_{ij}\end{array}$$
$\mathcal{A}$ 是对称变换 $\iff \left(\mathcal{A}{\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=\left({\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_j\right),\forall 1\le i,j\le n\iff a_{ji}=a_{ij},\forall 1\le i,j\le n$$\iff A$ 是对称矩阵

定理3. 设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上对称变换,则: $V_1$ 是 $\mathcal{A}$ --子空间 $\Rightarrow V_1^{\perp }$ 是 $\mathcal{A}$–子空间.

证明: 只需证明 $V_1^{\perp }$ 是 $\mathcal{A}$-不变的.

$\forall \alpha \in V_1^{\perp }$, 需要证明 $\mathcal{A}\alpha \in V_1^{\perp }.$
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}\text{ 任取 }\beta \in V_1,V_1\text{ 是 }\mathcal{A}-\text{ 子空间 }\Rightarrow \mathcal{A}\beta \in V_1\\ \alpha \in V_1^{\perp }\end{array}\}\Rightarrow (\alpha ,\mathcal{A}\beta )=0\\ \mathcal{A}\text{ 对称 }\Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\mathbf{\beta })=(\alpha ,\mathcal{A}\beta )\end{array}\}\Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\beta )=0$$

$$\Rightarrow \mathcal{A}\alpha \in V_1^{\perp }\Rightarrow V_1^{\perp }\text{ 是 }\mathcal{A}\text{ -子空间. }$$

定理4.设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换, $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵.

(1) 存在 $V$ 的一组标准正交基,使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵.
(2) 存在正交矩阵 $C$, 使得 $C^{T}AC=C^{-1}AC=\left(\begin{array}{lll}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是矩阵 $A$ 的全部特征值.

(3) 若$\lambda$是 $A$ 的 $k$ 重特征值, 则 $\lambda$ 恰有 $\mathbf{k}$ 个线性无关的特征向量.

(4) 若秩 $R(A)=k<n$, 则 0 恰为 $A$ 的 $n-k$ 重特征值.

定理4. (1)设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上对称变换,则存在 $\mathbf{V}$ 的一组标准正交 基,使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角 阵.

证明: 对 $n=\dim V$ 用数学归纳法，证明 $V$ 有一个由特征向量构成的标准正交基即可.

$[1]n=1:$ 此时 $\mathcal{A}$ 是数乘变换,结论显然成 立.

$[2]$ 下设 $<n$ 维欧氏空间上任一对称变换，都有一个由特征向量构成的标准正交 基.

对 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换 $\mathcal{A},$ 由定理 1 知 $\mathcal{A}$ 的特征值均实数,

任取 $\mathcal{A}$ 的某个实特征值 ${\lambda }_1\Rightarrow$ 相应特征子空间 $V_1$ 是非零 $\mathcal{A}$ 一子空间

若 $V_{{\lambda }_1}=V,$ 则 $\mathcal{A}={\lambda }_1{1}_V$ 是 $V$ 上数乘变换,结论显然成 立.

$\Rightarrow$ 特征子空间 $V_{{\lambda }_1}$ 是非零 $\mathcal{A}$ -子空间 \quad 下设 $V_{{\lambda }_1}\ne V$

$\Rightarrow V_1^{\perp }$ 也是 $\mathcal{A}$ -子空间且 $V=V_1\oplus V_1^{\perp }($ 定理3 $)$

${\Rightarrow \mathcal{A}|}_{V_1}\left({\mathcal{A}|}_{V_1^{\perp }}\right)$ 是 $V$ 的 $\mathcal{A}-$ 真子空间 $V_1\left(V_1^{\perp }\right)$ 上的对称变换

归纳假设 $\Rightarrow$ 存在 $V_1\left(V_1^{\perp }\right)$ 的由特征向量构成的标准正交基

将 $V_1$ 与 $V_1^{\perp }$ 的标准正交基并在一起,则得到 $V$ 的标准正交基

此时 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵.

由数学归纳法即知定理恒成立.

实对称矩阵的正交对角化

$(1)$ 求 $f(\lambda )=|\lambda I-A|$ 的根: ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n;$

(2) 求 $\left({\lambda }_{i}I-A\right)X=0$ 的基础解系 $:{\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{i{r}_i};$

(3) 将 ${\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{i{r}_i}$ 正交化后再单位化得:
$${\gamma }_{i1},{\gamma }_{i2},\cdots ,{\gamma }_{i{\mathbf{r}}_i}$$
(4) 令 $C=\left({\gamma }_{11},\cdots {\gamma }_{1r_1},\cdots ,{\gamma }_{k1},\cdots {\gamma }_{k{r}_k}\right)$, 则 $C$ 为正交矩阵且
$$C^{T}AC=C^{-1}AC=\Lambda =\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$
$例1$. \quad 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ -2& -4& 5\end{array}\right)$, 求正交矩阵 $C$ 与对角矩阵 $\Lambda$, 使 $C^{T}AC=C^{-1}AC=\Lambda .$

解: $|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -2& 2\\ -2& \lambda -5& 4\\ 2& 4& \lambda -5\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -10)\Rightarrow {\lambda }_1=1($ 二重 $),{\lambda }_2=10$.

求 ${\lambda }_1=1$ 的特征向量 $:{\lambda }_{1}I-A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ -2& -4& 4\\ 2& 4& -4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
$x_1=-2x_2+2x_3,{\alpha }_1=(-2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(2,0,1{)}^T$

将 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 正交化 $:{\beta }_1={\alpha }_1=(-2,1,0{)}^T,{\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1=\cdots =\frac{1}{5}(2,4,5{)}^T.$

再将 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 单位化: ${\gamma }_1=\frac{1}{\Vert {\beta }_1\Vert }{\beta }_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0{)}^T,{\gamma }_2=\frac{1}{\Vert {\beta }_2\Vert }{\beta }_2=\frac{1}{\sqrt{45}}(2,4,5{)}^T.$

求 ${\lambda }_2=10$ 的特征向量 $:$
$$\cdots \cdots \Rightarrow {\alpha }_3=(1,2,-2{)}^T\Rightarrow {\gamma }_3=\frac{1}{\Vert {\alpha }_3\Vert }{\alpha }_3=\frac{1}{3}(1,2,-2{)}^T$$
令 $C=\left({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)$, 则 $C$ 为正交矩阵且 $:C^{T}AC=C^{-1}AC=\left(\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & 10\end{array}\right)$

$例2$. 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& b& 1\\ b& a& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ & 1& \\ & & 4\end{array}\right)$ 求 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的值与正交矩阵 $C$, 使得 $C^{-1}AC=\Lambda$ 为对角矩阵**.**

解1: $A\sim \Lambda \Rightarrow |\lambda I-A|=|\lambda I-\Lambda |$

$|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -\mathbf{b}& -1\\ -\mathbf{b}& \lambda -\mathbf{a}& -1\\ -1& -1& \lambda -1\end{array}\right|=\cdots ={\lambda }^3-(\mathbf{a}+2){\lambda }^2+\left(2\mathbf{a}-{\mathbf{b}}^2-1\right)\lambda +b^2-2\mathbf{b}+1$

$=\lambda (\lambda -1)(\lambda -4)={\lambda }^3-5{\lambda }^2+4\lambda =|\lambda I-\Lambda |\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+2=5,\\ b^2-2b+1=0,\end{array}\Rightarrow a=3,b=1$

解2: $A\sim \Lambda \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{Tr}(A)=\mathrm{Tr}(\Lambda )\\ |A|=|\Lambda |\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}1+a+1=0+1+4\\ |A|=0\cdot 1\cdot 4\end{array}\Rightarrow a=3,b=1$
$$A=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),{\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4$$
直接计算可以分别求得三个特征值相应有如下特征向量:
$$\begin{gathered} {\lambda }_1=0:{\alpha }_1=(1,0,-1{)}^T \\ {\lambda }_2=1:{\alpha }_2=(1,-1,1{)}^T \\ {\lambda }_3=4:{\alpha }_3=(1,2,1{)}^T \end{gathered}$$
分别单位化, 得

$$\begin{array}{l}{\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^T\\ {\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^T\\ {\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T\end{array}$$
令 $C=\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\right)$, 则 $C$ 为正交矩阵且 $C^{-1}AC=\mathrm{diag}(0,1,4).$

$例3$ 设3阶实对称矩阵的秩为2, 且满足 $A^2=3A$, 则 $|A-2I|=$?

分析： $\begin{array}{l}3\text{ 阶实对称矩阵 }A\text{ 的秩为 }2\Rightarrow 0\text{ 是 }A\text{ 的 }3-2=1\text{ 重特征值 }\\ A^2=3A\Rightarrow A\text{ 的特征值 }\lambda \text{ 满足 }{\lambda }^2=3\lambda \Rightarrow \lambda =0\text{ 或 }3\end{array}\}\Rightarrow$

$A$ 的特征值为 $0,3,3\Rightarrow A-2I$ 的特征值为 $-2,1,1$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow |A-2I|=(-2)\cdot 1\bullet 1=-2\\ \text{ 法2: }\text{ 令 }A=\left(\begin{array}{lll}3& & \\ 3& & \end{array}\right)\Rightarrow \cdots \cdots & \end{array}$

$例4$设3阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3.$ $A$属于特征值1, 2 的特征向量分别是 则
$${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-2,-1{)}^T$$
(1) 求 $A$ 的属于特征值3的特征向量:

(2) 求矩阵 $A$.

解: 设 $A$ 属于特征值3的特征向量为 $\alpha ={\left(x_1,x_2,x_3\right)}^T$

因为实对称矩阵不同特征值的特征向量彼此正交
$$\Rightarrow \left({\alpha }_1,\alpha \right)=\left({\alpha }_2,\alpha \right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x_1-x_2+x_3=0\\ x_1-2x_2-x_3=0\end{array}$$
解得基础解系为 ${\alpha }_3=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow A\text{属于特征值3的全部特征向量为 }k\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),k\ne 0$

$A$ 属于特征值 3 的一个特征向量为 ${\alpha }_3=(1,0,1{)}^T$
$$\text{ 令P }=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)\Rightarrow P^{-1}AP=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow A=P\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)P^{-1}$$
计算可知 $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1/3& -1/3& 1/3\\ 1/6& -1/3& -1/6\\ 1/2& 0& 1/2\end{array}\right)\Rightarrow A=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}13& -2& 5\\ -2& 10& 2\\ 5& 2& 13\end{array}\right)$

$例5$. 证明 $n$ 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right)$ 相似

分析： $A$ 实对称, 必与对角阵相似， 证明 $A,B$ 与同一对角阵相似即可!
$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}|\lambda I-A|={\lambda }^{n-1}(\lambda -n)\\ A\text{ 实对称 }\end{array}\}\Rightarrow A\sim \mathrm{diag}(n,0,\cdots ,0)\\ \begin{array}{c}|\lambda I-B|={\lambda }^{n-1}(\lambda -n)\\ R(0I-B)=1\end{array}\}\Rightarrow B\sim \mathrm{diag}(n,0,\cdots ,0)\end{array}\}\Rightarrow A\sim B$$

参考

高等代数 电子科技大学