欧式空间——标椎正交基

标准正交基

约定 $:V$ 是欧氏空间
$$\alpha \text{ 与 }\beta \text{ 正交 }:(\alpha ,\beta )=0\iff {\alpha }^T\beta =0$$
正交向量组: ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 两两正交且不含零向量.
$$\text{ 如: }{\alpha }_1=(1,1,1),{\alpha }_2=(-1,2,-1),{\alpha }_3=(-1,0,1)$$
标准向量组:每个向量的长度均为1.

标准正交向量组:正交向量组且为标准向量组
$$\text{ 如: }{\beta }_1=(1,0,0),{\beta }_2=(0,\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$$
标准正交基:正交向量组，标准向量组且为基
$$\text{ 如: }{\epsilon }_1=(1,0,0),{\epsilon }_2=(0,1,0),{\epsilon }_3=(0,0,1)$$
$例1$ . 设 $A$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵, $x$ 是 $n$ 维列向量,且 $Ax=y.$ 证明: $x$ 与 $y$ 正交.

分析： \quad A反对称 $\Rightarrow A^T=-A$
$$x\text{ 与 }y\text{ 正交? }\iff (x,y)=0?$$
证: $(x,y)=x^{T}y=x^{T}Ax$

两端同取转置
$$\begin{array}{l}\Rightarrow (x,y)=x^T{A}^{T}x=-x^{T}Ax=-x^{T}y=-(x,y)\\ \Rightarrow (x,y)=0\Rightarrow x\text{ 与 }y\text{ 正交. }\end{array}$$
定理1. (1) ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\in V$ 是正交向量组 $\Rightarrow {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无 关;

$(2)$ 若$I$: ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的一组基,则:$I$ 是标准正交基 $\iff V$ 在基 $I$ 下的度量矩阵为单位阵;

(3)若 $\mathbf{I}$ 是标准正交基, $\alpha =\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)X,\beta =\left({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right)Y$, 则
$$(\alpha ,\beta )=X^{T}Y=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$$

证明： (1)设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$,

两端同时与 ${\alpha }_i(1\le i\le s)$ 做内积：
$$\Rightarrow k_1\left({\alpha }_1,{\alpha }_i\right)+k_2\left({\alpha }_2,{\alpha }_i\right)+\cdots +k_s\left({\alpha }_s,{\alpha }_i\right)=\left(0,{\alpha }_i\right)=0$$
${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 是正交向量组 $\Rightarrow \left({\alpha }_j,{\alpha }_i\right)=0,\forall j\ne i,\left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)\ne 0$
$$\begin{array}{l}\Rightarrow k_i\left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)=0\\ \Rightarrow k_i=0(1\le i\le s)\\ \Rightarrow {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s线性无关\end{array}$$
(2) ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是标准正交基 $\iff \left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)={\delta }_{ij}\iff \underset{\text{度量矩阵 }}{\left(\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)\right)}=I$
$\begin{array}{rl}(3)(\alpha ,\beta )& =\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i,\sum _{j=1}^n{y}_j{\alpha }_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{y}_j\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=X^{T}Y\end{array}$

线性无关向量组未必是正交向量组.

$$\text{ 如 }:{\alpha }_1=(1,0,0),{\alpha }_2=(1,1,0),{\alpha }_3=(1,1,1)$$
$例2$ . 设 ${\alpha }_1=(1,1,1),{\alpha }_2=(1,-2,1)$, 求 ${\alpha }_3$, 使 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为正交向量组.

解: 设 ${\alpha }_3=\left(x_1,x_2,x_3\right)$, 则:
$$\begin{array}{l}\left({\alpha }_1,{\alpha }_3\right)=x_1+x_2+x_3=0\\ \left({\alpha }_2,{\alpha }_3\right)=x_1-2x_2+x_3=0\Rightarrow {\alpha }_3=(1,0,-1)\end{array}$$

Gram-Schmidt 正交化方法

定理2: 设 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 是欧氏空间 $V$ 中线性无关的向量组则存在 $V$ 的标准正交向量组 ${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_m$, 使得
$$\mathrm{span}\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\right)=\mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_r\right)(1\le r\le m)$$
正交化: 归纳法 $\mathbf{r}=1:{\mathbf{\beta }}_1={\alpha }_1$

$r=2:$ 取 ${\beta }_2={\alpha }_2+k{\beta }_1$, 选取适当的 $k$ 使得 $\left({\beta }_2,{\beta }_1\right)=0$
$$\begin{array}{r}\left({\alpha }_2+k{\beta }_1,{\beta }_1\right)=\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)+k\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)=0,\\ \Rightarrow k=-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)},\end{array}$$
得到：
$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1$$
$\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1$ 是 ${\alpha }_2$ 在 ${\beta }_1$ 上的投影向量。

$r=3:$ 令 ${\beta }_3={\alpha }_3+k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2$, 求 $k_1,k_2$ 使得 $\left({\beta }_1,{\beta }_3\right)=\left({\beta }_2,{\beta }_3\right)=0$
$$\begin{gathered} 0=\left({\beta }_1,{\beta }_3\right)=\left({\beta }_1,{\alpha }_3\right)+k_1\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)\Rightarrow k_1=-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)} \\ 0=\left({\beta }_2,{\beta }_3\right)=\left({\beta }_2,{\alpha }_3\right)+k_2\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)\Rightarrow k_2=-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_2\right)}{\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)} \\ \Rightarrow {\beta }_3={\alpha }_3-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_2\right)}{\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)}{\beta }_2 \end{gathered}$$

${\alpha }_3$ 分别减去其在 ${\beta }_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 上的投影向量.

一般地: 正交化:
$$\begin{array}{r}{\beta }_s={\alpha }_s-\frac{\left({\alpha }_s,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1-\frac{\left({\alpha }_s,{\beta }_2\right)}{\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)}{\beta }_2-\cdots -\frac{\left({\alpha }_s,{\beta }_{s-1}\right)}{\left({\beta }_{s-1},{\beta }_{s-1}\right)}{\beta }_{s-1}\\ \\ 2\le s\le m\end{array}$$
单位化:
$$\text{ 令 }{\gamma }_i=\frac{1}{\Vert {\beta }_i\Vert }{\beta }_i(i=1,2,\cdots ,m),$$
$\Rightarrow {\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s$ 是标准正交向量组, 且
$$\mathrm{span}\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\right)=\mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_r\right)$$
正交化:
$$\begin{array}{l}{\beta }_1={\alpha }_1,\\ {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1\\ \cdots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .\\ {\beta }_m={\alpha }_m-\frac{\left({\alpha }_m,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1-\cdots -\frac{\left({\alpha }_m,{\beta }_{m-1}\right)}{\left({\beta }_{m-1},{\beta }_{m-1}\right)}{\beta }_{m-1}\end{array}\}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{l}\Rightarrow \left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\right)=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\right)\left(\begin{array}{rrrr}1& \ast & \ast & \ast \\ & 1& \ast & \ast \\ & & \ddots & \ast \\ O& & & 1\end{array}\right)\end{array}$$

单位化:
$${\gamma }_i=\frac{1}{\Vert {\beta }_i\Vert }{\beta }_i\Rightarrow \left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\right)=\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m\right)\left(\begin{array}{cccc}\Vert {\beta }_1\Vert & & o& \\ & \Vert {\beta }_2\Vert & & \\ o& & \ddots {\beta }_m\Vert & \end{array}\right)$$

$$\begin{array}{l}\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\right)=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\right)\left(\begin{array}{cccc}1& \ast & \ast & \ast \\ & 1& \ast & \ast \\ & & \ddots & \ast \\ o& & & 1\end{array}\right)\\ \left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m\right)=\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m\right)\left(\begin{array}{lllc}\Vert {\beta }_1\Vert & & & O\\ & \Vert {\beta }_2\Vert & & \\ & & \ddots & \\ O& & & \Vert {\beta }_m\Vert \end{array}\right)\end{array}$$

$$\Rightarrow \underset{A}{\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\right)}=\underset{Q}{\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m\right)}\underset{\mathbf{R}}{\left(\begin{array}{cccc}\Vert {\beta }_1\Vert & \ast & \ast & \ast \\ & \Vert {\beta }_2\Vert & \ast & \ast \\ & & \ddots & \ast \\ \mathbf{O}& & & \Vert {\beta }_m\Vert \end{array}\right)}$$

$A$ 可逆 $\Rightarrow A=QR,Q$ 正交, $R$ 是正线上三角

$例3$. 将 ${\alpha }_1=(1,1,1),{\alpha }_2=(1,2,1),{\alpha }_3=(0,-1,1)$ 标准正交化.

解: $(1)$ 正交化
$$\begin{array}{l}{\beta }_1={\alpha }_1=(1,1,1)\\ {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1=(1,2,1)-\frac{4}{3}(1,1,1)=\frac{1}{3}(-1,2,-1),\\ {\beta }_3={\alpha }_3-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_2\right)}{\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)}{\beta }_2=\cdots =\frac{1}{2}(-1,0,1)\end{array}$$
(2) 单位化
$${\gamma }_1=\frac{1}{\Vert {\beta }_1\Vert }{\beta }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1){\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1){\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1).$$
注意: 将 $\beta =k\alpha (k>0)$ 单位化,只需将 $\alpha$ 单位化即可.

正交矩阵

正交矩阵: 实方阵 $A$ 满足 $A{A}^T=A^{T}A=I($ 等价于 $A^{T}A=I).$

定理3: 设 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是正交矩阵,则

(1) $|A|=\pm 1$, 特别地 $A$ 可逆;

(2) $AB,A^T=A^{-1},A^{\ast }$ 正交;

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间,则

(3) 两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵;

证明: (1) $A{A}^T=I\Rightarrow 1=|I|=\left|A{A}^T\right|=|A{|}^2\Rightarrow |A|=\pm 1.$

$\begin{array}{lc}\text{ (2) }A,B\text{ 正交 }& \Rightarrow A^{T}A=I=B^{T}B\\ & \Rightarrow (AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=B^{T}B=I\Rightarrow AB\text{ 正交 }\\ A\text{ 正交 }& \Rightarrow I=A{A}^T={\left(A^T\right)}^T{A}^T\Rightarrow A^T\text{ 正交 }\\ A^{\ast }=|A|A^{-1}=& |A|A^T\Rightarrow {\left(A^{\ast }\right)}^T{A}^{\ast }=|A{|}^{2}A{A}^T=I\Rightarrow A^{\ast }\text{ 正交. }\end{array}$

(3) 设 $I$: ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 与$II$: ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 都是欧氏空间 $V$ 的标准正交基.

由

1. $V$ 在标准正交基 $I$下的度量矩阵为单位阵：$A=I$ 。
2. $V$ 在标准正交基 $II$ 下的度量矩阵为单位阵:$B=I$
3. 设从基I 到基 II 的过渡矩阵$C$

可以得到：$\Rightarrow I=B=C^{T}AC=C^{T}C$

$\Rightarrow$ 过渡矩阵 $C$ 正交

定理4. 设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 则$A$ 正交 $\iff A$ 的行 $($ 列 $)$ 组关于 ${\mathbb{R}}^{1\times n}\left({\mathbb{R}}^{n\times 1}\right)$ 是标准正交组.

证明： 设 $A=\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)$, 则
$$\begin{array}{rl}A\text{ 正交 }\iff A^{T}A=I& \iff I=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ ⋮\\ {\alpha }_n^T\end{array}\right)\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^T{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_1^T{\alpha }_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_n^T{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_n^T{\alpha }_n\end{array}\right)\\ & \iff {\alpha }_i^T{\alpha }_i=1,{\alpha }_i^T{\alpha }_j=0(\forall i\ne j)\\ & \iff \left({\alpha }_i,{\alpha }_i\right)=1,\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)=0(\forall i\ne j)\\ & \iff A的列组关于{\mathbb{R}}^{n\times 1}是标准正交组.\end{array}$$
同理可证行组的情形.

$例1$ 设 $A=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)$ 为正交矩阵,
$${\beta }_1=\frac{1}{3}\left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3\right),{\beta }_2=\frac{1}{3}\left(2{\alpha }_1-{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right),{\beta }_3=\frac{1}{3}\left({\alpha }_1-2{\alpha }_2-2{\alpha }_3\right)$$
证明: $\mathbf{B}=\left({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3\right)$ 是正交矩阵.

方法 $1:$ 证明 $\left({\beta }_i,{\beta }_j\right)=0(i\ne j),\Vert {\beta }_i\Vert =1,(i=1,2,3).$
$$\begin{array}{l}\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)=\frac{1}{9}\left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3,2{\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3\right)=\frac{1}{9}(4+4+1)=1\\ \left({\beta }_1,{\beta }_2\right)=\frac{1}{9}\left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3,2{\alpha }_1-{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\frac{1}{9}(4-2-2)=0\end{array}$$
同理可计算得 $:\left({\beta }_1,{\beta }_3\right)=\left({\beta }_2,{\beta }_3\right)=0,\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)=\left({\beta }_3,{\beta }_3\right)=1,\dots$

方法 $2:$ 证明 ${\mathbf{B}}^T\mathbf{B}=\mathbf{I}$ 即可：
$$\begin{array}{l}B=\left({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\right)=\frac{1}{3}\underset{A}{\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}\underset{C}{\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& -1& -2\\ -1& 2& -2\end{array}\right)}=\frac{1}{3}AC\\ B^{T}B=\frac{1}{9}(AC{)}^T(AC)=\frac{1}{9}{C}^T{A}^{T}AC=\frac{1}{9}{C}^{T}C=I\Rightarrow B\text{ 正交. }\end{array}$$
$例2$. 设 $A={\left(a_{ij}\right)}_{3\times 3}$ 是 3 阶正交矩阵, $a_{11}=1,b=(1,0,0{)}^T$, 求线性方程组 $AX=b$ 的解.

证明:
$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{a}_{11}=1\\ a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=1\\ a_{11}^2+a_{21}^2+a_{31}^2=1\end{array}\}\Rightarrow a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{31}=0 \\ \begin{array}{l}\Rightarrow AX=b:\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\text{ 有解 }\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ A\text{ 正交 }\Rightarrow A\text{ 可逆 }\Rightarrow AX=b\text{ 有唯一解 }\Rightarrow X=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).\end{array} \end{gathered}$$
$例3$. $(1)\lambda \in \mathbb{C}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值 $\Rightarrow |\lambda |=1.$

$(2)$ 实数 $\lambda \in \mathbb{R}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值 $\Rightarrow \lambda =\pm 1.$

证明: $(1)$ 设 $\alpha \in {\mathbb{C}}^n$ 是特征值 $\lambda \in \mathbb{C}$ 的一个特征向量,则

$A\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow {\overline{\lambda \alpha }}^T={\overline{A\alpha }}^T$ 同取共轭转置,注意到 $\bar{A}=A$
$\begin{array}{ll}\Rightarrow \bar{\lambda }{\alpha }^{-T}=(A\bar{\alpha }{)}^T={\bar{\alpha }}^T{A}^T& \text{ 右乘 }A\alpha \\ \Rightarrow \bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^{T}A\alpha ={\bar{\alpha }}^T{A}^{T}A\alpha & A\alpha =\lambda \alpha ,A^{T}A=I\\ \Rightarrow (\lambda \bar{\lambda }){\bar{\alpha }}^{-T}\alpha ={\bar{\alpha }}^T\alpha & \alpha \ne 0\Rightarrow {\bar{\alpha }}^T\alpha \ne 0\\ \Rightarrow |\lambda {|}^2=\lambda \bar{\lambda }=1\Rightarrow |\lambda |=1& \lambda \bar{\lambda }=|\lambda {|}^2\end{array}$

(2) 由(1)知 $|\lambda |=1$, 再由 $\lambda \in \mathbb{R}$ 知 $\lambda =\pm 1$.

$例4$. 设 $A$ 是奇数阶正交矩阵且 $detA=1.$ 则 1 是 $A$ 的特征值.

分析: $A$ 正交 $\Rightarrow A^{T}A=I|I-A|=0$ ?
$$\begin{array}{rlr}|I-A|& =\left|A^{T}A-A\right|=\left|\left(A^T-I\right)A\right|& =\left|A^T-I\right|\cdot |A|\\ & =\left|A^T-I^T\right|=\left|(A-I{)}^T\right|& =|A-I|\\ & =(-1{)}^n|I-A|=-|I-A|& \Rightarrow |I-A|=0\end{array}$$
所以 1 是 $A$ 的特征值.

类似可证: 行列式为ー1的正交矩阵, 必有特征值 -1.

定理5. $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 可逆 $\Rightarrow$ 存在正交矩阵 $Q$ 与正线上三角矩阵 $R$ 使得 $A=QR$.

欧氏空间上的同构

定义: 设 $V_1,V_2$ 都是欧氏空间,若 $\mathcal{A}:V_1\to V_2$ 满足:

(1) $\mathcal{A}$ 是线性同构;

(2) $(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta ),\forall \alpha ,\beta \in V$.

则称 $\mathcal{A}$ 是从欧氏空间 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构. \quad 即 $:$ 双射 +保持线性运算+保持内积

注记:

• [1]同构欧氏空间都是同构线性空间,维数必然相同;
• [2] 欧氏空间之间的同构映射比线性同构的要求更高!

定理6. $V$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\Rightarrow V$ 与 ${\mathbb{R}}^n($ 关于标准内积)作为欧氏空间是同构的.

证明：任取 $V$ 的一组标准正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 规定映射：
$$\mathcal{A}:V\to {\mathbb{R}}^n,\mathcal{A}{\alpha }_i={\epsilon }_i(1\le i\le n)$$
由定理 知, $\mathcal{A}$ 是线性映射,且 $\mathcal{A}$ 显然是双射 $\Rightarrow \mathcal{A}$ 是线性同构.

$\mathcal{A}$ 保持内积: $\forall \alpha =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n,\beta =y_1{\alpha }_1+\cdots +y_n{\alpha }_n$
$$\mathcal{A}\alpha =x_1{\epsilon }_1+\cdots +x_n{\epsilon }_n=\left(x_1,\cdots ,x_n\right),\mathcal{A}\beta =\left(y_1,\cdots ,y_n\right)$$
$(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n=(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )\Rightarrow \mathcal{A}$ 是欧氏空间的同构映射.

定理7. 设 $V_1,V_2$ 是有限维欧氏空间，则$V_1,V_2$ 是同构的欧氏空间 $\iff \dim V_1=\dim V_2.$

注记:(1) 欧氏同构映射必为线性同构映射.

(2) 线性同构映射, 未必是欧氏同构映射:
$$V_1=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\},V_2=\left\{\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\mid x,y\in \mathbb{R}\right\}$$
$\mathcal{A}:(\mathbf{a},\mathbf{b})\mapsto \left(\begin{array}{l}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\end{array}\right)$ 是欧氏同构映射.

$\mathcal{B}:(\mathbf{a},\mathbf{b})\mapsto \left(\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ 2\mathbf{b}\end{array}\right)$ 是线性同构映射, 但不是欧氏同构映射.

参考

高等代数 电子科技大学