第十届蓝桥杯国赛 C/C++ B组 题目 + 部分题解(或真或假)

A：平方序列（5分）

【问题描述】

小明想找到两个正整数 X 和 Y，满足
• 2019 < X < Y;
• 2019², X², Y² 组成等差数列。
请你求出在所有可能的解中，X + Y 的最小值是多少？
思路：没啥思路，暴力签到
Ans：7020

#include 
#define int long long
using namespace std;

signed main(){
     
    for(int x = 2020 ;  ; x ++){
     
        for(int y = x+1; ; y++){
     
            if(y*y-x*x == x*x-2019*2019){
     
                cout<<2019<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
                cout<<x+y<<endl;
                return 0;
            }
            if(y*y-x*x > x*x-2019*2019) break;
        }
    }
    return 0;
}

B：质数拆分（5分）

【问题描述】
将 2019 拆分为若干个两两不同的质数之和，一共有多少种不同的方法？注意交换顺序视为同一种方法，例如 2+2017 = 2019 与 2017+2 = 2019 视为同一种方法。
思路：0-1背包求方案数。不过5分的分值感觉给的不是很合理。(去年这题都不会)

Ans：55965365465060

#include 
#define int long long
using namespace std;
int prime[2000];
int pcnt = 0;
int dp[3000];
bool check(int x){
     
    for(int i = 2 ; i < x ; i ++){
     
        if(x%i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

signed main(){
     
    for(int i = 2; i < 2019 ; i ++){
     
        if(check(i)){
     
            prime[pcnt++] = i;
        }
    }
//    for(int i = 0 ; i < pcnt ; i ++){
     
//        cout<
//    }
    dp[0] = 1;
    for(int i = 0 ; i < pcnt ; i ++){
     
        for(int j = 2019 ; j >= prime[i] ; j --){
     
            dp[j] += dp[j-prime[i]];
            //if(dp[j] < 0 ) cout<
        }
    }
    cout<<dp[2019]<<endl;
    return 0;
}

C：拼接（10分）

【问题描述】
小明要把一根木头切成两段，然后拼接成一个直角。
如下图所示，他把中间部分分成了 n × n 的小正方形，他标记了每个小正方形属于左边还是右边。然后沿两边的分界线将木头切断，将右边旋转向上后拼接在一起。

要求每个小正方形都正好属于左边或右边，而且同一边的必须是连通的。
在拼接时，拼接的部位必须保持在原来大正方形里面。
请问，对于 7 × 7 的小正方形，有多少种合法的划分小正方形的方式。

Ans：----

D：求值（10分）

【问题描述】
学习了约数后，小明对于约数很好奇，他发现，给定一个正整数 t，总是可以找到含有 t 个约数的整数。小明对于含有 t 个约数的最小数非常感兴趣，并把它定义为 S _t 。
例如 S₁ = 1, S₂ = 2, S₃ = 4, S₄ = 6，· · · 。
现在小明想知道，当 t = 100 时，S _t 是多少？即 S₁₀₀ 是多少？
思路：还是暴力，不过可以用贪心策略直接推出来答案。对于一个数X，分解质因子 X = P^k1P^k2P^k3，那么约数总个数就是(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)，那么100可以分解成：2*2*5*5，那么就是 45360 = 2⁴*3⁴*5¹*7¹。 可能给 10分 是想让大家这么写吧，但其实暴力就行。
Ans：45360

#include 
#define int long long
using namespace std;


int check(int x){
     
    int cnt = 0;
    for(int i = 1 ; i <= sqrt(x) ; i ++){
     
        cnt += (x%i == 0)*2;
        if(i*i == x) cnt --;
    }
    return cnt;
}

signed main(){
     
    int two = 2*2*2*2;
    int tre = 3*3*3*3;
    int fiv = 5;
    int sev = 7;
    int res = two*tre*fiv*sev;
    for(int i = 1 ; i <= res ; i ++){
     
        //cout<
        if(check(i) == 100){
     
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    cout<<check(res)<<endl;
    return 0;
}

E：路径计数（15分）

【问题描述】
从一个 5x5 的方格矩阵的左上角出发，沿着方格的边走，满足以下条件的
路线有多少种？
• 总长度不超过 12；
• 最后回到左上角；
• 路线不自交；
• 不走出 5x5 的方格矩阵范围之外。
如下图所示，ABC 是三种合法的路线。注意 B 和 C 由于方向不同，所以
视为不同的路线。

思路：简单的dfs。需要注意的就是(0,0)->(0,1)->(0,0) 和 (0,0)->(1,0)->(0,0) 是不合法的，但是代码这样写会搜到。所以要减掉。（去年不知道为啥我减了4，白给了）
Ans：206

#include 
#define int long long
using namespace std;
int res = 0;
int dir[][2] = {
     0,1,1,0,-1,0,0,-1};
int vis[10][10];
bool check(int x,int y){
     
    return x >= 0 && x <= 5 && y >= 0 && y <= 5;
}


void dfs(int x,int y,int dep){
     
    if(x == 0 && y == 0 && dep <= 12){
     
        res ++;
        return ;
    }
    if(dep >= 12) return;
    vis[x][y] = 1;
    for(int i = 0 ; i < 4 ; i ++){
     
        int xx = x + dir[i][0];
        int yy = y + dir[i][1];
        if(check(xx,yy) && !vis[xx][yy]){
     
            dfs(xx,yy,dep+1);
        }
    }
    vis[x][y] = 0;
}

signed main(){
     
    dfs(0,1,1);
    cout<<res*2-2<<endl;
    return 0;
}

F：最优包含（15分）

时间限制: 1.0s 内存限制: 256.0MB
【问题描述】
我们称一个字符串 S 包含字符串 T 是指 T 是 S 的一个子序列，即可以从字符串 S 中抽出若干个字符，它们按原来的顺序组合成一个新的字符串与 T 完全一样。
给定两个字符串 S 和 T，请问最少修改 S 中的多少个字符，能使 S 包含
T ？
【输入格式】
输入两行，每行一个字符串。第一行的字符串为 S，第二行的字符串为 T。
两个字符串均非空而且只包含大写英文字母。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。
【样例输入】

ABCDEABCD
XAABZ

【样例输出】

3

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S | ≤ 20；
对于 40% 的评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S | ≤ 100；
对于所有评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S | ≤ 1000。

Ans：

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G：排列数（20分）

时间限制: 3.0s 内存限制: 256.0MB
【问题描述】
在一个排列中，一个折点是指排列中的一个元素，它同时小于两边的元素，或者同时大于两边的元素。
对于一个 1 ∼ n 的排列，如果可以将这个排列中包含 t 个折点，则它称为一个 t +1 单调序列。
例如，排列 (1,4,2,3) 是一个 3 单调序列，其中 4 和 2 都是折点。
给定 n 和 k，请问 1 ∼ n 的所有排列中有多少个 k 单调队列？
【输入格式】
输入一行包含两个整数 n, k。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，你可需要输出满足条件的排列数量除以 123456 的余数即可。
【样例输入】

4 2

【样例输出】

12

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 10；对于 40% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 20；
对于 60% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 100；对于所有评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 500。
Ans：

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H：解谜游戏（20分）

时间限制: 1.0s 内存限制: 256.0MB
【问题描述】

小明正在玩一款解谜游戏。谜题由 24 根塑料棒组成，其中黄色塑料棒 4 根，红色 8 根，绿色 12 根 (后面用 Y 表示黄色、R 表示红色、G 表示绿色)。
初始时这些塑料棒排成三圈，如上图所示，外圈 12 根，中圈 8 根，内圈 4 根。
小明可以进行三种操作：

1. 将三圈塑料棒都顺时针旋转一个单位。例如当前外圈从 0 点位置开始顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是 RGRGGRRY，内圈是 GGGR。那么顺时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：GYRYGRYGRGGG、
   YRGRGGRR 和 RGGG。
2. 将三圈塑料棒都逆时针旋转一个单位。例如当前外圈从 0 点位置开始顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是 RGRGGRRY，内圈是 GGGR。那么逆时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RYGRYGRGGGGY、
   GRGGRRYR 和 GGRG
3. 将三圈 0 点位置的塑料棒做一个轮换。具体来说：外圈 0 点塑料棒移动到内圈 0 点，内圈 0 点移动到中圈 0 点，中圈 0 点移动到外圈 0 点。例如当前外圈从 0 点位置开始顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是 RGRGGRRY，内圈是 GGGR。那么轮换一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RRYGRYGRGGGG、GGRGGRRY 和 YGGR。
   小明的目标是把所有绿色移动到外圈、所有红色移动中圈、所有黄色移动到内圈。给定初始状态，请你判断小明是否可以达成目标？

【输入格式】
第一行包含一个整数 T，代表询问的组数。(1 ≤ T ≤ 100)。
每组询问包含 3 行：
第一行包含 12 个大写字母，代表外圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。
第二行包含 8 个大写字母，代表中圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。
第三行包含 4 个大写字母，代表内圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。
【输出格式】
对于每组询问，输出一行 YES 或者 NO，代表小明是否可以达成目标。
【样例输入】

2
GYGGGGGGGGGG
RGRRRRRR
YRYY
YGGGRRRRGGGY
YGGGRRRR
YGGG

【样例输出】

YES NO

思路：里面4个中间8个外面12个。给每一个都标号，可以发现，无论怎么转，内圈的0号只会和中圈的0号和4号对着，也只会和和外圈的0，4，8号对着，其他的一次类推。也就是可以把这一坨，按照这个规律，分成四个组({ {0},{0,4},{0,4,8} } 为一组)。组内三个圈可以任意组合，组与组之间是完全没有交互的。也就是不会交换任何颜色。这就要保证每个组里GRY的个数分别为3,2,1，才有解。且必定有解！可以考虑这种情况，因为存在两个相同颜色，那么就可以利用这两个相同的颜色，改变任意其他两个颜色的相对位置，如图中的G-Y的相对位置，改变了之后，再转两次就可以调出来正确解了。也就是这不断利用这两个红色，去调别的颜色的位置，最终显然可以转出来。

Ans：

#include 
#define int long long
using namespace std;
signed main(){
     
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
     
        int cntG[4],cntR[4],cntY[4];
        memset(cntR,0,sizeof(cntR));
        memset(cntG,0,sizeof(cntG));
        memset(cntY,0,sizeof(cntY));
        string s1,s2,s3;
        cin>>s1>>s2>>s3;
        for(int i = 0 ; i < 12 ; i ++){
     
            if(s1[i] == 'G') cntG[i%4] ++;
            if(s1[i] == 'R') cntR[i%4] ++;
            if(s1[i] == 'Y') cntY[i%4] ++;
        }
        for(int i = 0 ; i < 8 ; i ++){
     
            if(s2[i] == 'G') cntG[i%4] ++;
            if(s2[i] == 'R') cntR[i%4] ++;
            if(s2[i] == 'Y') cntY[i%4] ++;
        }
        for(int i = 0 ; i < 4 ; i ++){
     
            if(s3[i] == 'G') cntG[i%4] ++;
            if(s3[i] == 'R') cntR[i%4] ++;
            if(s3[i] == 'Y') cntY[i%4] ++;
        }
        int flag = 1;
        for(int i = 0 ; i < 4 ; i ++){
     
            if(cntG[i] == 3 && cntR[i] == 2 && cntY[i] == 1){
     
                ;
            }else{
     
                flag = 0;
            }
        }
        cout<<(flag ? "YES" : "NO")<<endl;
    }
    return 0;
}

I：第八大奇迹（25分）

时间限制: 1.0s 内存限制: 256.0MB
【问题描述】
在一条 R 河流域，繁衍着一个古老的名族 Z。他们世代沿河而居，也在河边发展出了璀璨的文明。
Z 族在 R 河沿岸修建了很多建筑，最近，他们热衷攀比起来。他们总是在比谁的建筑建得最奇特。
幸好 Z 族人对奇特的理解都差不多，他们很快给每栋建筑都打了分，这样评选谁最奇特就轻而易举了。
于是，根据分值，大家很快评出了最奇特的建筑，称为大奇迹。
后来他们又陆续评选了第二奇特、第二奇特、……、第七奇特的建筑，依次称为第二大奇迹、第三大奇迹、……、第七大奇迹。
最近，他们开始评选第八奇特的建筑，准备命名为第八大奇迹。
在评选中，他们遇到了一些问题。
首先，Z 族一直在发展，有的建筑被拆除又建了新的建筑，新建筑的奇特值和原建筑不一样，这使得评选不那么容易了。
其次，Z 族的每个人所生活的范围可能不一样，他们见过的建筑并不是所有的建筑，他们坚持他们自己所看到的第八奇特的建筑就是第八大奇迹。
Z 族首领最近很头疼这个问题，他害怕因为意见不一致导致 Z 族发生分歧。他找到你，他想先了解一下，民众自己认为的奇迹是怎样的。
现在告诉在 R 河周边的建筑的变化情况，以及在变化过程中一些人的生活范围，请编程求出每个人认为的第八大奇迹的奇特值是多少。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 L, N，分别表示河流的长度和要你处理的信息的数量。开始时河流沿岸没有建筑，或者说所有的奇特值为 0。
接下来 N 行，每行一条你要处理的信息。
如果信息为 C p x，表示流域中第 p 个位置 (1 ≤ p ≤ L) 建立了一个建筑，其奇特值为 x。如果这个位置原来有建筑，原来的建筑会被拆除。
如果信息为 Q a b，表示有个人生活的范围是河流的第 a 到 b 个位置（包含 a 和 b，a ≤ b），这时你要算出这个区间的第八大奇迹的奇特值，并输出。如果找不到第八大奇迹，输出 0。
【输出格式】
对于每个为 Q 的信息，你需要输出一个整数，表示区间中第八大奇迹的奇特值。
【样例输入】

10 15
C 1 10 
C 2 20 
C 3 30 
C 4 40 
C 5 50 
C 6 60 
C 7 70 
C 8 80
C 9 90
C 10 100
Q 1 2
Q 1 10
Q 1 8
C 10 1 
Q 1 10

【样例输出】

0
30
10
20

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 1000。对于 40% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 10000, 1 ≤ N ≤ 10000。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 100000，1 ≤ N ≤ 100000。所有奇特值为
不超过 10⁹ 的非负整数。

思路：主席树，

在这里插入代码片

J：燃烧权杖（25分）

题目太长，没看懂，待补

总结：大一啥也不会，唯一会的dfs还写错了。等于填空题只拿了15分。然后编程大题，一个不会。也就I题能拿了个暴力分。没想到还是混了个国三。最大的收获可能就是公费北京游了，故宫太可了。今年连公费旅游都没了~