同余方程、二次剩余、二次互反律
1、同余方程
剩余类可以看做是一个新的数系，它对加减乘运算是封闭的，所以同余方程对多项式是有意义的。这里我们就来讨论下一元多项式方程（1）的解，当然它的解是一个剩余类集合，最多有 m 个解。
在正式解一个同余方程前，可以先进行一些简单的变形，最简单的就是将系数取模。对于两个多项式 ，如果它们的系数是模m同余的，则称是模m同余的。记作
。显然模同余的多项式的解也必然是相同的，一般将化简后多项式的最高次数称为方程的次数。同余方程中也不是完全不能用除法，当时，多项式乘上 就可以变成首 1 多项式。
进一步，如果恒成立，则称是模 m 等价的。比如根据费马小定理，和就是等价的。显然同余的多项式必定是等价的，但等价的多项式却不一定是同余的。例如上面的例子 和就是等价的，但很明显能看出来其对应的幂次数签的系数并不同余，故两个式子不同余。使用等价多项式可以对方程进行降次，比如模为p的多项式 f(x) 一定可以通过多项式除法降为次数小于p的多项式 r(x)。对于一般的合数 m，其实容易有 ，则有恒等式，故任何多项式都等价于某个次数小于 m 的多项式。
在这里我们先从一般的类似（1）式的最复杂的情况的一般同余方程开始讨论，接下来自然是要对模数进行分解，记方程（1）的解的个数为，且中两两互素。容易证明解方程（1）的问题可以等价为解方程组（2）的问题，且有。
将模数进行素数分解，则我们可以把问题集中在解方程 ，在这里我们可以看出我们的思路其实还是比较清晰的，针对任意的模数 m，我们有算术基本定理将其分解成各个素数之积，于是我们把问题归结到模数为 ,而我们想要得到的一个好的结果就是可以找到模数为 与 单个素数之间的关系，或者递推关系最好，因为单素数这种情况最为简单。于是我们先来考虑对模“降次”。首先显然该方程的解也必然是的解，设c为后者的解，则前者的解必定在中。将其带入原方程，经过整理后有式子 ，其中即为的导函数为。注意去除含有的项（被整除），整理后得到 ，进而有式子（3）。于是我们来考察较为简单的一次同余方程式（3），易得当时，y 有唯一解。否则当，同时 （等价 ）时恒成立,这时候（3）式子的解数为 p,即,这个时候再带入 即可得到的解，依次迭代上去即可得到模 的解，否则当，同时 (等价) 时无解。这样就有了如公式（4）的方程的解的网状关系图,分别对应了上面三种情况，特别地当无解时，所有的解相同。
现在我们的问题被转化成了方程，研究的方向和一般多项式方程类似，是关于方程解的个数和多项式格式。先假设方程已经做了同余简化，但还未做等价简化，使用多项式除法和归纳法可以有以下拉格朗日定理：若方程有 m 个不同的解 ，则必定有唯一表达式（5），其中g(x)的首项为，的次数低于 m。该定理说明了 n 次同余方程的解的个数不可能大于 n，反之若大于 n，则必恒为 0。
拉格朗日定理给出了多项式同余方程与根有关的格式，值得注意的是，该格式与原多项式是同余，也就是它的本来面貌，这点很重要。该定理还有其它有趣的应用，比如由欧拉定理知有 p−1 个非零解，则有公式（6），令即可得到威尔逊定理！如果再比较和项的系数，就会有公式（7）（8）。这里需要注意的是（7）中的与是关于[p-1/2]对称的，分别对应和前面的系数。还有值得一提的是，同余方程同可以有“重根”的概念，有兴趣朋友可以自己研究一下。
这里给出一个（8）式的简单的示意证明，首先因为 p 为素数，我们以 5 来作为示意展示，证明任意素数 p 时，只需将如下证明思路的模式从 5 推广到任意 p 即可。观察（8）并将 乘到和式里面，上式左边便变为了 其中 的定义同以前文章中的定义及 的阶乘除以 , 于是问题就归结到了证明如下式子：
当 p = 5时，易知 ，同理其他式子也是一样，于是我们可观察得到，当 p = 5 时
并且此方法可以推广到任意的素数 p，于是（8）式得证。
接下来我们假定方程做了等价简化，即的次数小于p且首项系数为 1，看看会有什么性质。首先若有，则有p个根，从而，换句话说，次数小于p的首1多项式如果等价则必唯一，即等价和同余是一致的。还有一个问题就是方程的根的个数问题了，当恰有n个根时，有，而，这就有。反之也可以推得分别有个根。这就是说有n个解的充要条件是存在唯一表达式（9）。
关于高次方程更进一步的结论比较少，这里也不作深究，而二项同余方程放到后面的不定方程讨论会更简单，所以这里也不讨论了。对一些低次方程，可以直接对其研究，我们先从最简单的一次剩余方程看起，显然它是否有解与不定方程是否有解是等价的，故有解的充要条件是。由同余的性质，原方程等价于方程（10）。故原方程共有个解，分别为，其中为任一解，也称为特解。如果将（10）简记为，则即为原方程的一个特解。
直接求逆是复杂的，一次方程一般用辗转相除法，对于一些特殊格式，还可以动用一切同余的性质简化算法。你可以试解决下面这几个问题：
• 证明的解为，其中 。并由此给出系数为的方程的解法；
• ，若解为，则是的解。
2、二次剩余
现在来研究模为素数的二次同余方程，通过配方可以有，从而方程其实等价于二次二项方程，当然这里不去考虑和这样的平凡场景。如果方程有解，称为的二次剩余，否则叫二次非剩余。为方便描述，这里先引进勒让德（Legendre）符号，并且勒让德符号或函数有三个取值，当 为的二次剩余时其值为1，否则为 −1，当 时值为 0。
考虑将的既约剩余系分为对称的两部分和，显然 ，而当时，，所以。从而上面的式子给出了模 p 的全部二次剩余，故共有个二次剩余，又因为模 p 的既约剩余系共有 p-1 个数，所以另外的（p-1）/2 个都是模p的二次非剩余，共有个二次非剩余，每个二次剩余有两个互为相反数的根。
我们自然要问：哪些数是二次剩余？如何判断它是二次剩余？根据欧拉定理有，通过移项平方差构造容易证明 。若 为二次剩余，则有。若不为二次剩余，我们可以将按照乘积为配成对，根据威尔逊定理有。综合这两个结论就是二次剩余的欧拉判别法（公式（11）），当然对于大模数这个方法的计算量还是太大，它仅有理论价值。
对于一些特殊值，可以单独讨论，得出的结论也是可以直接使用的。首先容易证明只有在时才是二次剩余，并且由威尔逊定理知 是它的解。而且当 时，显然 同时是或不是二次剩余，呈对称分布。当 时，显然x,−x有且仅有一个二次剩余，从上面的欧拉判别式即可得到此结论。这些结构都是很有用的。接下来我们可以来看看如下几个小练习：
• 讨论 有解的充要条件，并给出求解的方法；
• 求模 下所有二次剩余的积与和，再求模 p 下所有二次非剩余的积与和。
使用勒让德符号能更清晰地表述二次剩余的性质，如下列的这些性质（可自行验证）：
（1）
（2）；
（3）；；
使用素数分解并结合以上性质，可将求一般 的问题转化为求解和 上。现在从另一方面讨论 ，在剩余系 中考察 个数 的分布，即在既约剩余系中的前 (p-1)/2 个数乘以二次剩余 d，然后观察那些落在了 0到 p/2 内，那些落在了 p/2 到 p 内。容易证明它们互不相同且互不相反，所以它们是以 为对称轴的两个数之一，右半边的数（设个数为n）需要取相反数才能回到左边。考虑它们的积则容易有 ，这样就有了二次剩余新的判定方法（公式（12）左），特别地时可以推得 是二次剩余的条件是（可写成公式（12）右）。
对一般的 继续上面的结论，注意到 （[x]是取整操作），对它们求和并在模2 下讨论，可以得到式子（13）。而后者有显著的几何意义，它是一个直角三角形区域内的整点个数。考虑 对应的和对应的，它们正好组成了一个长方形区域，这样就得到了著名的高斯二次互反律（公式（14））。
有了这个公式，就可以将 不断转化为更小模数的判定式，从而最终解决了任意 的求解。如果上述证明过程，你感觉还有些不太清楚的话，你还可以参考这里： 如何简洁地证明二次互反律？
在经过上述的论述之后，你还可以尝试思考下下面这几个问题：
• 求以3为二次剩余的充要条件，并由此对 进行因式分解；
• 求证 的奇素因子都有格式 ；并由此证明格式为 的素数有无穷多个；
• ，求证为素数的充要条件是；
• ，求 （提示：剩余系的遍历）。
在使用勒让德符号时要保证模数是素数，这一点很不方便，我们希望这种记法能更通用一点。扩展后的符号称为雅克比（Jacobi）符号：，其中。雅克比符号虽然只是一个记法，但形式上却同样有着漂亮的性质，首先有下面几个简单的性质：
（1） ；
（2）；；
（3）。
在得到更多结论之前，需要一个引理：如果，则用归纳法可以有公式（15）。
利用这个结论就很容易得到雅克比符号的以下性质，这些性质可以使得雅克比公式的使用更加自由，中间无需关心操作数是否为素数，比如 。
（4） ;
（5）
3、特殊二次方程的快速解法
上面我们探讨一般性的同余方程，然后又探讨了较为简洁的二次同余方程的一般形式，在这里我们继续介绍一些特殊的二次同余方程的快速解法。这在利用计算机进行运算时时常会被用到。众所周知，一个素数 只可能是 。在这之中，对于为的素数 ，我们都能够快速地解出二次方程。
快速解法的要义实质上就是凑！但是如何优雅地凑、在凑的过程中碰到困难如何处理等等还是很有意思的。
首先，我们拿到一个二次方程后自然地会用Legendre符号 判断其是否有解。在这里我们自然要讨论 的二次方程。那么利用 Euler 判别法，。这就是我们凑方程解的起点所在。
自然地，我们有，下面把左侧凑成平方形式： ，从而得到方程的解为： 。但是我们得确保 ，故这个方法仅仅对于 为的素数有效！
对于剩余类型的素数，我们可以换一个思路：先对于 做因式分解（这是个常用的思路），得到 。故 或 成立。（注意到这里 为 的素数都能保证 ）
若 成立，则开始凑：，故 ，解为 。这个做法要求 ，故仅对于有效。
反之，若成立， 。但是我们遇到了问题：我们该如何凑出一个数，使得其平方在 意义下为 -1 呢？Wilson 定理给了我们答案！对于素数 p，
即 。这样一来立马得到解为： ，这个做法同样仅对于 有效。这里的Wilson定理使用得太为精妙了，这告诉我们Wilson定理不仅仅为我们提供了一个数为素数的充要条件，其也帮助我们计算出了域 上的 ！
由于上述讨论中我们一直假定p 为奇素数，故我们一直没讨论模为 时的方程解法。下面我们讨论方程，其中假定 n 为奇数。
当模为 2 或 4 时我们分类讨论容易得到结论。模为2 时的解存在唯一，而模为4 时要么无解要么有唯一解，解存在的充要条件为 。（这很自然，因为所有奇数的平方都是模 4 余 1 的）
在模为时，我们先讨论其解的存在性与解的结构。
方程的解存在当且仅当 （这很好理解，因为所有奇数的平方都是模8 余 1 的），且给定方程特解 后，可以确定其所有四个解 。你可以自己验证下。
具体求解的情形中我们效仿高次同余方程的做法，利用 的解构造 的解。若前一个方程有解，则必定为后一个方程的解，这是极其容易验证的。
故对于形如 的方程，我们只需要先考虑 ，求出其解后即可写出 的解，以此类推，最终写出一个 的解 。那么由这类方程解的结构，其全部四个解 我们就都知道了！