蒙特卡洛法详解

蒙特卡洛法可称为计算机随机模拟方法，是一种基于随机数的计算方法。

1. 蒙特卡洛法的理论基础和基本方法

概率论中的大数定理和中心极限定理是蒙特卡洛法的理论基础。大数定理反映了大量随机数之和的性质，即随机数的均值收敛于函数的期望值。中心极限定理是指，无论单个随机变量的分布如何，多个独立随机变量之和服从正态分布。以这两个定理为基础，蒙特卡洛法表述如下，假定函数

其中，输入变量的概率分布已知，蒙特卡洛法利用随机数发生器抽样获得M组输入变量的值，然后按上述函数关系确定M个输出变量值，当M足够大时，便可给出与实际情况相近的输出变量的数字特征。基本方法：首先，确立一个与求解有关的统计模型，使解为所构建模型的数学期望和概率分布；其次，对模型进行随机抽样，产生随机变量；最后，用算术平均数作为所求解的近似平均值，给出所求解的统计估计值和标准差，即解的精度。

2. MCM方法实施流程

3. MCM常用函数一览表

函数	说明
unifrnd(a,b,m,n)	均匀分布（连续）随机数
unidrnd(N,m,n)	均匀分布（离散）随机数
exprnd(lambda,m,n)	指数分布随机数
normrnd(mu,sigma,m,n)	正态分布随机数
trnd(N,m,n)	t分布随机数
gamrnd(a,b,m,n)	伽马分布随机数
binornd(N,P,m,n)	二项分布随机数
poissrnd(lambda,m,n)	泊松分布随机数
std	标准差
var	方差
prctile	百分位数
pdf	概率密度函数

4. 输入量的概率分布

4.1 均匀分布

如果了解X的信息只有下限a和上限b，根据最大熵原理，该量在区间$[a,b]$服从均匀分布。它的概率密度函数为

期望和方差为

举个例子

x=unifrnd(1,3,1,1000000);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.2 曲线梯形分布

已知X位于下限A和上限B之间，且A位于区间$[a-d,a+d]$，B位于区间$[b-d,b+d]$，它的概率密度函数为

期望和方差为

MATLAB没有提供曲线梯形分布函数，利用函数变换法，得如下公式

举个例子

r1=rand(1,1000000);
r2=rand(1,1000000);
as=1.8-0.1+2*0.1*r1;
bs=1.8+2.2-as;
x=as+(bs-as).*r2;
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on;
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.3 梯形分布

已知X为两个独立量之和，这两个独立量服从均匀分布，那么X服从下限a上限b，上底半宽度与下底半宽度比值为$\beta$的梯形分布。

它的概率密度函数为

期望和方差为

MATLAB没有提供梯形分布函数，利用函数变换法，得如下公式

举个例子

r1=rand(1,1000000);
r2=rand(1,1000000);
x=1+(2-1)/2*((1+0.3)*r1+(1-0.3)*r2);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on;
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.4 三角分布

已知X为两个独立量之和，这两个独立量服从均匀分布，且$b_1-a_1=b_2-a_2$，那么X服从下限a上限b的三角分布，它的概率密度函数为

期望和方差为

MATLAB没有提供三角分布函数，利用函数变换法得

举个例子

r1=rand(1,1000000);
r2=rand(1,1000000);
x=1+(2-1)/2*(r1+r2);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on;
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.5 反正弦分布

已知X在下限a与上限b之间以未知相位正弦周期变化，且相位服从$[0,2\pi ]$均匀分布，那么X服从反正弦分布，它的概率密度函数为

期望和方差为

MATLAB没有提供反正弦分布函数，利用函数变换法得

举个例子

r=rand(1,1000000);
x=(1+2)/2+(2-1)/2*sin(2*pi*r);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on;
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.6 正态分布

已知X的期望值和标准差，那么X服从高斯分布，它的概率密度函数为

期望和方差已知，举个例子

x=normrnd(1,0.01,1,1000000);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.7 多元正态分布

如果向量X中的N个量都服从正态分布，那么X服从N维多元正态分布，它的概率密度函数为


涉及到多元就会出现协方差，这儿不再细说。举个例子

mu=[10;20];
sigma=[1 3;3 16];
x=mvnrnd(mu,sigma,100);
plot(x(:,1),x(:,2));
grid on
xlabel('第一个输入量取值');
ylabel('第二个输入量取值');

4.8 指数分布

仅仅知道非负量X的最佳估计值，那么服从指数分布，它的概率密度函数为

期望和方差为

举个例子

x=exprnd(0.1,1,1000000);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

4.9 伽马分布

已知X是来自固定样本大小的平均数，q是样本计数，这个数符合期望未知的泊松分布，那么根据贝叶斯定理，X服从伽马分布，它的概率密度函数为

期望和方差为

举个例子

x=gamrnd(5,1,1,1000000);
[f,xi]=ksdensity(x);
plot(xi,f);
grid on
xlabel('随机抽样值');
ylabel('概率密度');

5. 简单案例实现

假设有一个函数关系式为

已知这四个输入变量分别服从$[0,1]$均匀分布，$[2,3]$均匀分布，正态分布和指数分布，实现代码如下

M=1000000;
x1=unifrnd(0,1,1,M);
x2=unifrnd(2,3,1,M);
x3=normrnd(1.5,0.5,1,M);
x4=exprnd(1.5,1,M);
y=2.*x1.*x1+3.*x1.*x2-x2.*x3+0.5.*x4.*x4;
biaozhuncha=std(y);
junzhi=mean(y);
[f,y]=ksdensity(y);
plot(y,f);
grid on
xlabel('输出量取值');
ylabel('概率密度');

biaozhuncha =

    5.8602

junzhi =

    2.9168