《高等代数简明教程》读后感1

高等代数就是数学系的线性代数，附加了一点内容。

最近读完了1，2章，并且把习题做完了。

第一章是很基本的，一些大学之前的知识的总结。

第二章开始是线性代数的内容，向量，向量组，矩阵，和一些相关的内容。

以前一直有一个疑问，线性代数为什么叫线性代数？这是关于这门课到底在讲什么的疑问。

初学这门课，脑子里记下的应该有向量，矩阵，解方程，特征值，二次型这些名词和内容。

当要探究有没有一个更根本的概念时，翻翻网页，会发现线性映射这个名词，落实到Rn上就是矩阵。我也深以为然过，因为发现了一个概念"代数"，是的，有一种数学结构就是叫代数，和代数学的代数是一个词。这个代数是一个类似线性空间的结构，能在里面做加法，数乘，和乘法。动一下脑子，这不就是矩阵吗？并且我认为，线性映射是更抽象，更广泛的概念，所以线性代数的根本应该是线性映射，而且以提矩阵为耻。这样我的思考就停在这里了。

这次我再看这本书时，体会又不一样了。这次我不怯于提矩阵了，矩阵也很有趣。并且上面提到的都是重要的，但是最重要的是矩阵和线性映射在不同视角下的解释，以及这些解释的相互转换。矩阵和线性映射的不同解释，和在各种情况下这些解释视角的转换。这不是单纯看书看来的，而是在实际运用中，在做习题的时候体会到的。

具体在第二章里，是线性方程组，向量组，矩阵之间的视角转换。书里的一个线索是从向量组，矩阵的视角来解决线性方程组的求解问题，这是显然的，没什么好说。第二个线索是计算秩，从三个视角来计算秩。方程组角度可以联系到基础解系的个数，向量组是定义秩的方式，矩阵有数值上相同的行秩列秩，书上给出了矩阵的基本运算之后秩变化的范围，A+B，AB，kA，行列初等变换，还有矩阵分块/合并之后的秩都有对应结论。

方程组求解这个方面很自然，中学都学过，大学把这个问题彻底解决掉。那秩有什么用？书里也在不显眼的角落提到了，是给出了一个等价关系，叫做相抵，同秩的矩阵等价。所以秩能用来确定一个等价关系，这个秩的计算就比较重要了。

上面是书上写的，谁都能读出来。下面说一点从做题里体会到的。

比如有一题说证明可逆上三角矩阵的逆还是三角矩阵，这个最方便的就是关注矩阵的分量，考察上三角矩阵A和他的逆乘起来得到的单位矩阵的左下角的分量是怎么来的。从最后一行看起，解方程会发现逆的最后一行都是0。然后接着一行行往上看。发现逆的左下角都是0，这个用别的方法看就不太方便。

还有一题卡住过我，是给了一个齐次方程组a，又给了另一个方程b，说方程组a的解都是b的解，要证明方程b的系数可以被a的系数做为向量组 线性表示。最后我发现看成方程组，把a，b放在一起，照理说解是会减少的，但是由条件，解并没有减少，于是从定理得到a的系数矩阵和ab的系数矩阵是同秩的，于是线性相关，可以线性表示。

还有好多转置相关的的题目，可以用分量来得出结论，但是最好的方法还是把矩阵看成单独的实体，不必脏了手看分量。比如说A，B两个对称矩阵，证明AB对称等价于A，B交换。这个显然，由条件(AB)'=B'A'=BA，于是得出AB=BA和(AB)'=AB是等价的。

这些题有些题可以暴力解决，但是用合适的方法可以做的更优雅，或者看错视角根本下不了手。所以我觉得线性代数的应用中，看问题的视角非常关键，也是最重要的一点。