《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》课后习题答案—Chapter 4

《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》课后习题答案系列

Chapter 4：Building Fields from Euclidean Domains《欧几里得环建立域》

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前言

本系列是对Robert J.McEliece写的《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》书中课后习题进行解答，该书是密码学有限域必读的书籍，想深入研究密码学的学者建议通读。以下是作者和其他同学做过之后整理的答案，仅供参考！

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面答案可供参考

第四章 课后习题及答案

4.1 习题1

答：证等价关系，即证自反性、对称性和传递性。

• 1）自反性：因为$m|a-a$，所以$a\equiv a(modm)$；
• 2）对称性：若$a\equiv b(modm)$，则$m|a-b$，所以$m|b-a,b\equiv a(modm)$；
• 3）传递性：若$a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)$，则$m|a-b,m|b-c$，所以$m|a-b-(b-c)$，即$m|a-c,a\equiv c(modm)$。
  当$m=0$时，$a\equiv b(modm)$当且仅当$a=b$时，每个等价类有且仅有一个元素。

4.2 习题2

答：设$a_1,a_2\in \bar{a},b_1,b_2\in \bar{b}$,即$a_1\equiv a_2(modm),b_1\equiv b_2(modm)$，又因为$a_1{b}_1-a_2{b}_2=a_1{b}_1-a_1{b}_2+a_1{b}_2-a_2{b}_2=a_1(b_1-b_2)+b_2(a_1-a_2)$，所以$m|a_1{b}_1-a_2{b}_2$，即$a_1{b}_1\equiv a_2{b}_2(modm)$，所以$\overline{a_1{b}_1}=\overline{a_2{b}_2}$。

4.3 习题3

答：若$\bar{0}=\bar{1}$，则$m|1-0$，即$m$是单位。
$\therefore$ 对 $\forall a,b\in D$，有$m|a-b$。
$\therefore$ $Dmodm$有且仅有一个等价类$\bar{a},\bar{a}$既是零元，也是单位元。
$\therefore$ $Dmodm$是环，但不是域。

4.4 习题4

答：证明，若$a\ne 0,b\ne =0$，且$ab=0$，则$a$不存在逆元。假设$a$有逆元 $a^{-1}$，则$b=a^{-1}\cdot a\cdot b=a^{-1}\cdot 0=0$，矛盾。
$\therefore$ 非零元$a$不存在逆元。
$\therefore$ 有零因子环不是域。

4.5 习题5

答：因为 $p=x^2+1|x^2-(-1)$
$\therefore$ $x^2\equiv -1(modp)$
$\therefore$ $\overline{x^2}=\overline{-1}$

4.6 习题6

答：

• 证法1：若 $a=0$或$b=0$，则在 $g(0)=-\infty$的定义下显然成立。（无零因子环上的多项式环）若$a\ne 0,b\ne 0$，设$a=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0$；$b=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0,b_m\ne 0$则$g(a)=n,g(b)=m$
  $\therefore ab=a_n{b}_m{x}^{m+n}+c_{m+n-1}{x}^{m+n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0,a_n{b}_m\ne 0$
  $\therefore g(ab)=m+n=g(a)+g(b)$
• 证法2：由书中（4.8）可知$g(a)=degree(a)$，则$g(ab)=deg(ab)=deg(a)+deg(b)=g(a)+g(b)$，得证。

4.7 习题7

答：假设$a(x)=q_1(x)b(x)+r_1(x)=q_2(x)b(x)+r_2(x),deg(r_1(x))<deg(b(x)),deg(r_2(x))<deg(b(x))$，且$r_1(x)\ne r_2(x)$。则$[a_1(x)-a_2(x)]b(x)=r_2(x)-r_1(x)$。若$q_1(x)-q_2(x)\ne 0$，则$deg[r_2(x)-r_1(x)]=deg(b(x))+deg[q_1(x)-q_2(x)]\ge deg(b(x))$，又因为$deg[r_2(x)-r_1(x)]\le maxdeg(r_1(x),deg(r_2(x))$，矛盾。
$\therefore q_1(x)=q_2(x),r_1(x)=r_2(x)=a(x)-q_1(x)b(x)$。

4.8 习题8

答：$a_2=1,a_1=1,a_0=0,b_2=b_1=b_0=1$，所以$c_2=a_2{b}_2+a_2{b}_0+a_0{b}_2+a_1{b}_1=1,c_1=a_2{b}_2+a_2{b}_1+a_1{b}_2+a_1{b}_0+a_0{b}_1=0,c_0=a_2{b}_1+a_1{b}_2+a_0{b}_0=0$
$\therefore 110]\cdot [111]=[100]$。

4.9 习题9

答：

• (a)：$(a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0)\cdot (b_3{x}^3+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0)=a_3{b}_3{x}^6+(a_3{b}_2+a_2{b}_3)x^5+(a_3{b}_1+a_2{b}_2+a_1{b}_3)x^4+(a_3{b}_0+a_2{b}_1+a_1{b}_2+a_0{b}_3)x^3+(a_2{b}_0+a_1{b}_1+a_0{b}_2)x^2+(a_0{b}_0+a_0{b}_1)x+a_0{b}_0$。
  因为$x^4\equiv x+1(mod{x}^4+x+1)$。
  $\therefore a_3{b}_3{x}^6\equiv a_3{b}_3{x}^3+a_3{b}_3{x}^2(mod{x}^4+x+1)$，$(a_3{b}_2+a_2{b}_3)x^5\equiv (a_3{b}_2+a_2{b}_2+a_1{b}_3)x+a_3{b}_1+a_2{b}_2+a_1{b}_3(mod{x}^4+x+1)$
  $\therefore c_3=a_3{b}_3+a_3{b}_0+a_2{b}_1+a_1{b}_2+a_0{b}_3$；
  $c_2=a_3{b}_3+a_3{b}_2+a_2{b}_3+a_2{b}_0+a_1{b}_1+a_0{b}_2$；
  $c_1=a_3{b}_2+a_2{b}_3+a_3{b}_1+a_2{b}_2+a_1{b}_3+a_1{b}_0+a_0{b}_1$；
  $c_0=a_3{b}_1+a_2{b}_2+a_1{b}_3+a_0{b}_0$。
• (b) ：记 $a=\overline{x+1}$，则有$a^0=1,a^1=\overline{x+1},a^2=\overline{x^2+1},a^3=\overline{x^3+x^2+x+1},a^4=\bar{x},a^5=\overline{x^2+x},a^6=\overline{x^3+x},a^7=\overline{x^3+x^2+1},a^8=\overline{x^2},a^9=\overline{x^3+x^2},a^{10}=\overline{x^2+x+1},a^{11}=\overline{x^3+1},a^{12}=\overline{x^3},a^{13}=\overline{x^3+x+1},a^{14}=\overline{x^3+x^2+x}$。
  $$\begin{array}{cccc}\beta & lo{g}_a\beta & k& a^k\\ & & & \\ 0000& & & 0000\\ 0001& 0& 0& 0001\\ 0010& 4& 1& 0011\\ 0011& 1& 2& 0101\\ 0100& 8& 3& 1111\\ 0101& 2& 4& 0010\\ 0110& 5& 5& 0110\\ 0111& 10& 6& 1010\\ 1000& 12& 7& 1101\\ 1001& 11& 8& 0100\\ 1010& 6& 9& 1100\\ 1011& 13& 10& 0111\\ 1100& 9& 11& 1001\\ 1101& 7& 12& 1000\\ 1110& 14& 13& 1011\\ 1111& 3& 14& 1110\end{array}$$

4.10 习题10

答：$\because g(1+i)=1+1=2$
$\therefore$对 $\forall \bar{a}\in Dmodp$，有$g(a)<g(p)=2$
$\therefore g(a)=0$ 或 $1$
$\therefore a=0,\pm 1,\pm i$
$\because 1+i|1-(-1),1+i|i-(-i)$
$\therefore Dmodp=\{\bar{0},\bar{1},\bar{i}\}$，$0$为零元，$i$为单位元，$\bar{i}+\bar{i}=\bar{0},\bar{i}\cdot \bar{i}=\bar{1}$。

4.11 习题11

答：略 (太长了，码字很累）。