数学=自由+美——读《数学沉思录：古今数学思想的演变》

宇宙似乎是有一位理论数学家设计的。

——（英）詹姆斯·琼斯

据说符合下面的条件，即属于最完美女性标准体型：

1、体重kg＝(身高cm×1.37－110)×0.45；

2、以肚脐为界，上下身比例5比8；

3、胸围为身高的一半；

4、腰围较胸围小20cm；

5、臀围较胸围大4cm；

6、站立时头颈、躯干和脚的纵轴在同一垂直线上；

7、肌肉富有弹性，肤色细腻、光泽、柔韧。

不难看出，除了最后一条，其余均与数字或者数学相关。不过，对于人体美学我是没有一点点研究的，所以其中的正确道理有几分就不得而知了。

同样，在Mario Livio（李维）《数学沉思录：古今数学思想的演变》这本书中提到这样的话，

“当两根相似的弦被同时弹响时，如果弦的长度是单比例的，就会发出令人愉悦的动听声音。例如，长度相等的弦（此时比例为1：1），产生的是同音；当比例为1:2时，产生的是八度音；当比例为2:3时，发出的是纯五度和音；当比例为3:4时，产生的是纯四度和音”。（p20-21）

我对音乐同样没有任何研究，只是惊异于作者如此精确的结论恰巧与自然界事物的存在状态和规律又是如此的严丝合缝，真让人感到非人工所能为啊！

我惊奇于这么美妙和奥妙世界，又使我因为几乎对数学知识的缺乏而感到遗憾，因为我慢慢地感觉到，数学是一种自由与美的结合体，是一门自由自在地享受和谐与美的学问。所以我觉得数学家大多肯定是极幸福的，徜徉恣肆在和谐与美的世界里，夫复何求？

然而正如本书的作者所提到的，上帝是一位数学家吗？数学究竟是人类的发明还是发现？不过，我更倾向于这个结论——“数学是发明与发现的结合”。例如开普勒发现了行星运动的三大定律（分别是轨道定律、面积定律和周期定律），牛顿发现了物体运动的三个基本定律，而且大都以几乎完美的数学公示予以表达，从而成为为宇宙立准则的人。

可以说这些宇宙中的定律是一种先验的依然存在的规律或者联系，这些伟大的数学家和物理学家只是发现了这种规律而已，然而能以近乎完美的数学公式表达出来是不得不归功于他们的伟大创造也就是发明了。

不过有人也持恰好相反的观点，认为规律是发明，表达式是发现，然而似乎很难让我信服，估计也很难服众。不过这种规律和联系的表达可能只是人类发明的形式中的一种而已，比如“2+2=4”，“2×2=4”，这两个表达式，同样的数字在经过不同形式的运算得出相同的结论。可见，世间有一件这样的事情，难保没有第二件甚至更多这样的事情。

值得注意的是，在很多时候，数学在解释事物方面有其很独特的优势，维格纳称之为成功解释我们周围世界的“数学无理由的有效性”。比如在本书中提到这样一个对话的例子：

福斯特（Foster）：先生，我仍然对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法有点困惑。

教师：三合为一，一分为三，非常直接，如果有任何疑问就去请教你的数学老师。

虽然有点近于诡辩的言辞，但确实是我所听到和见到的最简便而有效的解释了。另外还有向来被人们认为不证自明的某些欧几里得几何定理，被成为生命之结的脱氧核糖核酸（DNA）双螺旋结构及其遗传信息的转录，正态频率分布曲线用于对身高、体重等数据测量的呈现，以及所谓大数据时代或者说数字化生存时代统计论与概率学的应用和依赖……

这恐怕不只是因为数学是不同语言之间沟通时迅速架起的唯一桥梁，也在于数学已成为或者说一直是我们生存的一部分，甚至是通向自由的那一部分。

首先，因为数学与人类的思维是相通的，这样就实现了在思维领域的自由，而不像其他很多方面的学问或多或少受到思维模式的约束或者禁忌的限制。当然，也有人认为数学是逻辑思维的产物，不管谁先谁后，至少可以断定的是，数学思维是自由的。

其次，数学的研究从起始现象到结论总是在自然与和谐的基础上的，这是一门研究自由宇宙的学科。比如从有理数到微积分，从毕达哥拉斯的四元体到爱因斯坦的质量能量互变规律，从粒子微观结构到宇宙运行规律等等。

再次，有时候因为过程的自由性使得结论也是自由的或者说开放性的。比如根据不同目的的统计，比如著名的悬铁链问题，比如多维曲面和纽结问题。

最后，数学作为解释世界的工具时最方便最自由的。至少在目前来看，没有比数学更简洁更直观的解释宇宙现象和规律的，所以运用这个工具当然也是最不受限制的，正如越是守规矩的人越自由一样。

数学是研究自然与和谐的，而数学本身则是自由和美的。这种美和自由不仅体现在研究对象，研究过程，也体现在研究的结论。我想下面这个有关黄金分割率的表达最能体现这种自由和美的完美结合的。

0.618，这是个吉利的数字，也是个很有意思的数字，在著名的斐波那契数列中，任意相邻的两个数的比，数字越大越接近这个比值。

不管是绘画、雕塑、音乐等艺术领域，而且在建筑、工程设计等方面处处有黄金分割率的影子。大到古埃及的金字塔、巴黎的圣母院和埃菲尔铁塔，小到国旗上的五角星，树叶叶脉的排列和分子的晶体结构。

据说达·芬奇的很多著名油画就是按照这种比例布局的。不得不说人类这正是因为掌握了这一自然美的特征和人造美的源泉，在自由宇宙中以和谐的形式添置美的事物，搜寻美的感受，是自由自在的创造，也是自由自在的享受。

（部分图片来自网络）

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