查找算法(4)-斐波那契(黄金分割法)查找

1.基本介绍

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。

斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618

2. 斐波那契(黄金分割法)原理

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列）

image.png

对F(k-1)-1的理解:

1. 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1

2. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

3. 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。

while(n>fib(k)-1)

k++;

3.应用案例

请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

import java.util.Arrays;

/**
 * @author xuyuyong
 * @create 2021-05-07 18:02
 * @content
 */
public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;

    public static void main(String[] args) {
        int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};


        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));
    }

    /**
     * 因为后面我们 mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
     * 非递归方法得到一个斐波那契数列
     */
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    /**
     * 编写斐波那契查找算法
     * 使用非递归的方式编写算法
     * @param a     数组
     * @param key   我们需要查找的关键码(值)
     * @return      返回对应的下标, 如果没有 -1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        //表示斐波那契分割数值的下标
        int k = 0;
        //存放mid值
        int mid = 0;
        //获取到 斐波那契 数列
        int[] f = fib();
        while (high > f[k] - 1) {
            k ++;
        }

        //因为 f[k] 值 可能大于 a 的长度, 因此 我们需要使用 Arrays 类, 构造一个新的数组, 并指向temp[]
        //不足的部分会使用 0 填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //实际上需求使用 a 数组最后的数填充 temp
        //举例:
        //temp = [1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0]    =>   {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }

        // 使用 while 来循环处理, 找到我们的数 key
        while (low <= high) {
            mid = low + f[k - 1];
            //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
            if (key < temp[mid]) {
                high = mid - 1;
                //why是 k-1
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
                //因为 前面 f[k - 1]个元素, 所以可以继续拆分 f[k -1] = f[k - 2] + f[k - 3]
                //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
                // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
            } else if ( key > temp[mid]) {
                low = mid + 1;
                //为什么是 k -=2
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有 f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在 f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { //找到
                //需要确定，返回的是哪个下标
                if(mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}