组合数学 笔记

0001：从  个不同的元素中取  个可重复元素的组合数为：

           方程 的非负整数解的个数为：

0002： 从  个不同的元素中取  个最多可出现   次元素的组合数为：

            抛掷   个骰子，点数之和为   的组合数为：

0003：从  个不同的元素中取  个不相邻元素的组合数为：

0004：组合数公式：，由此公式可推出：

0005：组合数公式：

0006：组合数公式：

由此公式可推出：

0007： 坐标系中从  点沿两个坐标轴方向移动到  点的最短路径中（其中 ），经过的点的坐标始终满足  的路径数量为：

此结论可解决下面的问题：

电影院的票价为50元， 个人持50元， 个人持100元，每人只买一张票，相互之间不拆借，售票处开始营业时没有钱。能使售票顺利进行，不出现找不出钱的排队方式数量为：

顺利售票的概率为：

最小概率为：

0008：阶乘公式：

0009：组合数函数 ，先递增后递减。函数在  或  处取得最大值。

0010：分堆排列组合数： 个有区别的小球放入  个盒子里，每个盒子里放入  个小球，其中 ，则：

若盒子是有标志的，则分堆方案数为：，且有：

（每个小球放入时有  个选择）

若盒子是无标志的，则分堆方案数为：

0011：证明： 的正因数的个数是奇数；

方法一：

根据算术基本定理，必存在质数  和非负整数 ，使：

可以看出  可以分解为  个质因数幂的乘积，故  的因数个数为：

，这是一个奇数，证毕。

方法二：

设 ，是  的一个正因数，则存在自然数 ，满足 。

可以看出  成对出现，这样的正因数有偶数个。

 也是  的一个正因数，所以所有正因数的总个数是奇数。

证毕。

0012：证明：

 

使用母函数的证明方法：

设 ，则有递推关系：

 ；

设 ，可得递推关系：

 ；

设  的母函数为：

根据  的递推关系可得：

 

解微分方程可得：

故，，

证毕。

0013：证明：所有的正整数  都可以表示为（下标）不同的 Fibonacci 数之和。

使用数学归纳法证明， 时命题显然成立，假设  时命题成立，即：

存在自然数 ，满足：，则：

，分析如下：

若 ，则命题成立；若 ，则 ，且：

若 ，则命题成立；若 ，则 ，且：

若 ，则命题成立；若 ，则 ，且：

 

以此类推，将这样的分析进行下去，直到：

，其中，，则：

若 ，则命题成立；若 ，则有：

，此时命题成立。

由上可得，当  时命题也成立。

证毕。

0014：设  是斐波那契数列， 是正整数，证明：

解：利用递推关系  可化简等式的右边为：

 

 

将通项公式  代入上式，并利用关系式

  可得：

 

 

 

 

证毕。

0015：将整数序列  任意剖分为  和  两部分，证明这两部分中的一个必包含三个构成等比关系的数。

解：使用反证法。假设  和  中都不包含能够构成等比关系的数，则  这3个数必不能属于同一部分，下面分别讨论之。

1. 若 ，则 ，则有：

 

 

 

 

 

2. 若 ，则 ，则有：

 

 

 

 

 

3. 若 ，则 ，这分两种情况来讨论。

3.1 若 ，，则有：

 

 

3.2 若 ，，则有：

 

 

 

综上，在所有情况下均推出了矛盾，所以假设不正确，命题得证。

0016：证明循环群的子群也是循环群。

证明：设  是循环群， 是  的生成元， 是  的子群。

则有 ，设 

下面证明  的所有元素都是  的整数幂。

假设 ,

则有：，即  且 

这与  相矛盾，所以  是  的一个生成元，故  也是循环群，命题得证。

0017：证明有限群中元素的阶能够整除群的阶。

证明：设  为有限群， 是  中的任意一个元素，。

易证  是  的一个子群，若任意子群的阶都能够整除群的阶，则问题就得以证明，下面对此事实进行证明。

设  是  的任意子群， 是  的任意两个元素。

若 ，则 

证明：假设 ，则 ，这与  矛盾

 

证明：假设 ，则 ，这与  矛盾

证明：若 ，则命题成立。

若 ，则 

 

 

故，

设 ,，则

证明：

 

 

故，

综上，可得 

设 ，则 

设 ，则 

依次类推，可得

即  的阶是  的整数倍，由此可以得出以下结论：

1. 有限群的任意子群的阶能够整除群的阶；

2. 有限群的任意元素的阶能够整除群的阶；

命题证明完毕。

占位符