算法（2）KMP算法

1.0 问题描述

实现KMP算法查找字符串。

2.0 问题分析

1. “KMP算法”是对字符串查找“简单算法”的优化。
2. 字符串查找“简单算法”是源字符串每个字符分别使用匹配串进行匹配，一旦失配，模式串下标归0，源字符串下标加1。
3. 可以很容易计算字符串查找“简单算法”的时间复杂度为O（m*n），其中n表示源字符串长度，m表示匹配串长度。
4. KMP算法的匹配方式同简单算法的匹配方式相同，只不过在失配的时候，模式串下标不归零，反而会根据模式串自身的重复信息，回归到一个大于0的下标。从而减少匹配次数。
5. 那么失配时候，模式串下标回归的位置需要提前计算好。计算的方法是，匹配串中，每个位置的前缀字符串“头部”和“尾部”的重复字符数即为失配下标回归位置。
   • 假设匹配串是：ababc
   • 下标0的字符是“a”，它的前缀是空字符串，所以回归位置为0
   • 下标1的字符是“b”，它的前缀是“a”，数量不足2个，回归位置也是0
   • 下标2的字符是“a”，他的前缀是“ab”，没有重复的头部和尾部，回归位置是0
   • 下标3的字符是“b”，它的前缀是“aba”，有重复的头部和尾部，重复子串是“a”，长度为1，回归位置是1
   • 下标3的字符是“c”，它的前缀是“abab”，有重复的头部和尾部，重复子串是“ab”，长度为2，回归位置是2
6. 根据上一条，我们可以计算出一个next数组用于保存失配时模式串下标应该回到哪里的下标序列。
7. 计算好next数组后，就可以使用“简单算法”的逻辑进行匹配了，只不过不同的是，一旦失配，匹配串下标不是回归到0，而是根据next数组决定。

3.0 代码实现

3.1使用swift实现

///简单查找
func simpleSearch(_ src: String, _ mode: String, _ start: Int) -> Int {
    var i = start;
    while i < src.count {
        var j = 0;
        while j < mode.count {
            if(i + j >= src.count || src[i + j] != mode[j]){
                break;
            }
            j += 1;
        }
        if j == mode.count{
            return i;
        }
        i += 1;
    }
    return -1;
}

///kmp字符串查找
func kmpSearch(_ src: String, _ mode: String, _ start: Int) -> Int {
    //计算next
    var next: [Int] = [0, 0];
    //自身匹配，i表示主下标，j表示匹配下标
    var i = 2, j = 0;
    while i < mode.count {
        if(mode[i - 1] == mode[j]){
            next[i] = j + 1;
            i += 1;
            j += 1;
        }else{
            if(j == 0){
                i += 1;
            }
            //已经匹配的部分有可能会有首尾相同的情况
            j = next[j];
        }
    }
    
    //算法同自身匹配
    i = start;
    j = 0;
    while i < src.count {
        if(src[i] == mode[j]){
            i += 1;
            j += 1;
            
            if(j == mode.count){
                return i - mode.count;
            }
        }else{
            if(j == 0){
                i += 1;
            }
            j = next[j];
        }
    }
    
    return -1;
}

3.2使用js实现

function simpleSearch(src, mode, start){
    for(let i = start; i < src.length; i++){
        let miss = false;
        for(let j = 0; j < mode.length; j++){
            if(i + j >= src.length){
                miss = true;
                break;
            }else if(src.charAt(i + j) != mode.charAt(j)){
                miss = true;
                break;
            }
        }
        if(!miss){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

function kmpSearch(src, mode, start){
    let next = [0, 0];
    let i = 2; 
    let j = 0;
    while (i < mode.length) {
        if(mode.charAt(i - 1) == mode.charAt(j)){
            j++;
            i++;
            next[i-1] = j;
        }else{
            if(j == 0){
                i++;
            }
            j = next[j];
        }
    }

    i = start;
    j = 0;
    let found = false;
    while (i <= src.length) {
        if(src.charAt(i) == mode.charAt(j)){
            i++;
            j++;
            if(j == mode.length){
                found = true;
                break;
            }
        }else{
            if(j == 0){
                i++;
            }
            j = next[j];
        }
    }

    if(found){
        return i - mode.length;
    }else{
        return -1;
    }
}

4.0 复杂度分析

1. 我们选取复杂度最大的一种模型来分析，即：模式串所有字符都相同，源串和模式串总是在最后一位失配。
2. 令源串为 “aaaabaaaabaaaab”，匹配串为 “aaaaa”。
3. 匹配串的next数组为：[0,0,1,2,3]
4. 首次匹配会在第5位失配，比较次数为5。
5. 模式串回到3，进行一次比较即会失配，比较次数为1。
6. 模式串回到1，进行一次比较即会失配，比较次数为1。
7. 模式串回到0，同时源串下标加1。此时源串下标为6，匹配串下标为0。根据源串特点，此时会不断重复4-7的过程。
8. 根据上述分析，我们推到一般情况，长度为n的源串，长度为m的匹配串，会形成一个周期性匹配，周期次数为n/m。
9. 很容易看到一个周期内的复杂度小于O(2m)，所以整体复杂度小于 O(2m*n/m)=O(2n)，即复杂度为O(n)。
10. 计算next数组的算法和匹配算法相同，因此复杂度为O(m)。
11. 所以KMP算法整体复杂度为O(m+n)。