动态规划算法之背包问题

物品	重量（磅）	价格
吉他（G）	2	1500
音响（S）	4	5000
电脑（L）	5	2000

1. 装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 装入的物品不能重复

算法介绍

1. 动态规划核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解
2. 动态规划与分治算法类似，基本思想也是将待求解问题分解成若干子问题，先求子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
3. 与分治法不同，适合于动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）
4. 动态规划算法可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

背包问题

1. 给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品。如何选择物品使放入背包的物品价值最大。其中又分为01背包和完全背包（每种物品都有无限件可用）
2. 这里的问题属于01背包，即每种物品最多放一个(0个或1个)，无限背包可以转化为01背包

背包问题思路

1. 每次遍历第i个物品，设W[i]和V[i]分别第i个物品的价值和重量

2. v[i] [j] 表示在前i的物品中能够放入容量为j的背包的价值最大值

   	1磅	2磅	3磅	4磅
   吉他	1500	1500	1500	1500
   音响	1500	1500	1500	3000
   电脑	1500	1500	2000	2000+1500

• w[i]>j时，v[i] [j] = v[i-1] [j] //当前加入的物品容量大于背包容量，则取遍历到上一个物品时的最大装入策略
• w[i]<=j时,v[i] [j] = max(v[i-1] [j], v[i-1] [j-w[i]] + V[i])

public class DynamicProgramming {

  public static void main(String[] args) {
    int[] w = {1, 4, 3}; // 物品的重量
    int[] val = {1500, 3000, 2000}; // 物品的价值
    int m = 4; // 背包的容量

    // 多垫一行一列，避免数组越界
    int[][] v = new int[w.length + 1][m+1]; // v[i][j] 表示前i个物品能够装容量为j的背包的最大价值
    // 因为多垫了一行一列，所以下标从1开始
    for (int i = 1; i < v.length; i++) {
      for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
        if (w[i -1] > j) {
          v[i][j] = v[i-1][j];
        } else {
          v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - w[i-1]] + val[i-1]);
        }
      }
    }

    printV(v);
  }

  public static void printV(int[][] v) {
    for (int[] val : v) {
      System.out.println(Arrays.toString(val));
    }
  }

}