大数定律和小数定律（Matlab示例）

大数定理是我们日常或者大学统计概率经常接触到的一个定理，也叫做伯努科大数定理。

大数定理：在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

比如一个转轮被均分成37份，每份分别被标记为1-37序数。每次转动，指针指向每个序数的概率理论上是一样的，都是1/37。我们转动一次或许无法得出此结论，但是在转动无数次此后，每个序数被指针指向的概率是一样的，比如我们分别转动100、1000、10000、100000次。利用matlab的随机数生成函数randi分别产生100、1000、10000、100000个 [1 37]之间的整数来模拟转盘游戏：

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Figure 4

我们看到，在只转动100次时，转盘上被指向的序数出现的概率相差还挺大的，随着转动次数的增加，各个序数出现的概率越来越接近，在转动十万次时，这些概率已经看不出有什么诧异了（当然还有，只是很微小了）。

可是我们很多时候关注转动很少次各数出现的问题，因为我们很多时候只能做一两次实验，比如我们去赌场真的赌博或者超市的幸运转盘。同样我们利用matlab的randi函数模拟一回37次转动：

Figure 5

通过37次转动，37个序数并没有全部都被转到，只有其中的24个序数被转到。是不是我们这37次转动有什么问题呢？不妨我们来重复做10000和100000回的37次的转动，看能得到什么结果：

Figure 6

Figure 7

我们发现，不管是10000回还是100000回的37次转动，没有一回的37次转动能够把所有的序数都转出来，而且最多也就只能转出31个序数出来，最少也有16个，所有每次转出序数的个数在16-31之间。这就是小数定律要说明的问题，而且小数定律强调37次转动只有大约三分之二的序数会被转出来，另外三分之一不会的（37的三分之二约为25），所以小数定律又叫三分之二定律。

我的结果31个序数和理论值25其实有一定的差距，但是不妨碍说明小数定律要告诉我们的东西。我们不要按照习惯思维或者自然把少量的实验过程当成大数定律满足的条件来分析。

（完）

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