“巧构”二面角

【高考地位】
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有三种方法：其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】

方法一 定义法

定义法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步 首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；
第二步 然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；
第三步 得出结论.
【例】. 在边长为的正三角形中，于，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为___．
【解析】

根据已知条件知为正三角形边中点，且，；

所以为二面角的平面角，连接

由得为正三角形；

所以

故二面角的大小为.

【总结】

本题考查二面角平面角的概念及求法，属中档题.弄清图形折叠前后的变化，认识到等边三角形的高线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明为二面角的平面角，连接，从而容易说明为正三角形，从而得出二面角的大小为.

方法二 射影法

射影法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步 首先求出其中一个平面的垂线；
第二步 然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；
第三步 运用解三角形等相关知识即可求出其大小.
【例】. 如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．

【解析】

（1）证明：如图，取的中点，连接．

因，则，

由平面侧面，

且平面侧面，

得平面，又平面，

所以

因为三棱柱是直三棱柱，

则底面，所以．

又，从而侧面，

又侧面，故．

(2)连接，由(1)可知平面，则是在平面内的射影，

所以即为直线与平面所成的角，

因为直线与平面所成角的正弦值为，则，

在等腰直角中，，且点是中点，

且，，

，过点作于点，连接，

由(1)知平面，则，且

即为二面角的一个平面角．

且中，，

又，

，且二面角为锐二面角，

，即二面角的大小为．

方法三 空间向量法

向量法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出两个平面的法向量；
第三步 再利用即可得出结论.
【例1】 如图，在四棱锥中，底面，，为等边三角形，，，为的中点．

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（1）求；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

【解析】

（1）连接, 因为底面，平面，所以，

又因为，，

所以底面，

因为平面，

所以，

因为为等边三角形，

所以．

又已知，，

可得．
（Ⅱ）分别以，所在直线为，轴，过且平行的直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，，．

由题意可知平面的法向量为．

设平面的法向量为，

则，得则．

．

所以平面与平面所成二面角的正弦值．

【总结】本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理、空间向量求立体几何问题、推理论证能力、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：

其一是不能准确找出线线关系，尤其是线线垂直、线面垂直的关系，进而不能正确地求出所得的结果；

其二是对于第二问不能正确地运用空间向量求立体几何问题，进而导致失误.

【例2】、如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面，且，，，且. 求二面角的余弦值.

【解析】

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，

平面

平面的法向量，另外，，，

，

设平面的法向量，则，令，得
，

又为锐二面角,所以二面角的余弦值为.
【总结】：本题考查平面与平面垂直的证明，属中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．