第12届北师大校赛热身赛第二场 C. 组合数

题目链接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/contest_show.php?cid=3570#problem/43573

C. 组合数

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64-bit integer IO format:  %lld      Java class name:  Main

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 对于给定的n和k，求它们的组合数C(n, k)的奇偶性

Input

 多组输入。每组输入包括两个整数n,k(1<=k<=n<=10^8)。输入以EOF结束。

Output

 对于每组输入，输出一个数表示C(n, k)的奇偶性，0表示偶数，1表示奇数

Sample Input

1 0
2 1
3 2

Sample Output

1
0
1

数论问题：对组合数，若n&k==k则为奇数，否则则为偶数。

证明例如以下：

 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 (P是旧使用方法，如今教材上多用A，Arrangement)
  公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
组合数的奇偶性判定方法为:
  结论：
  对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
  证明：
  利用数学归纳法：
  由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
  相应于杨辉三角：
  1
  1 2 1
  1 3 3 1
  1 4 6 4 1
  ………………
  能够验证前面几层及k = 0时满足结论，以下证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，
  C(n,k)满足结论。
  1).如果C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
  则有：(n-1)&k == k;
  (n-1)&(k-1) == k-1;
  由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必定是不同的，所以n-1的最后一位必定是1
  。
  现如果n&k == k。
  则相同由于n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
  由于n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与如果矛盾。
  所以得n&k != k。
  2).如果C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
  则有：(n-1)&k != k;
  (n-1)&(k-1) != k-1;
  现如果n&k == k.
  则对于k最后一位为1的情况：
  此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与如果矛盾。
  而对于k最后一位为0的情况：
  则k的末尾必有一部分形如：10; 代表随意个0。
  相应的，n相应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
  而若n相应的{*}*中仅仅要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n相应部分也应该是10。
  则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与如果矛盾。
  所以得n&k != k。
  由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
  3).如果C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
  则有：(n-1)&k == k;
  (n-1)&(k-1) != k-1;
  显然，k的最后一位仅仅能是0，否则由(n-1)&k == k就可以推出(n-1)&(k-1) == k-1。
  所以k的末尾必有一部分形如：10;
  相应的，n-1的相应部分为： 1{*}*;
  相应的，k-1的相应部分为： 01;
  则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1相应的{*}*中至少有一个是0.
  所以n的相应部分也就为 ： 1{*}*; (不会由于进位变1为0)
  所以 n&k = k。
  4).如果C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
  则有：(n-1)&k != k;
  (n-1)&(k-1) == k-1;
  分两种情况：
  当k-1的最后一位为0时:
  则k-1的末尾必有一部分形如: 10;
  相应的，k的相应部分为 : 11;
  相应的，n-1的相应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
  相应的，n的相应部分为 : 1{*}1;
  所以n&k = k。
  当k-1的最后一位为1时:
  则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0能够是附加上去的)
  相应的，k的相应部分为 : 10;
  相应的，n-1的相应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
  相应的，n的相应部分为 : 10;
  所以n&k = k。
  由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。
  综上，结论得证!

证明出自：http://zhidao.baidu.com/link?url=FTCA2X8YsPRIMW7_eiGNnxELJIL4ymgvosNXk0VEA5LbXDNnuxirzBmqtiLjKbG2e9IpXlKpR2jF6fKPSlOL6_

附上代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int n,k;
    while(cin>>n>>k)
    {
        long t=n&k;
        if(t==k)
        {
            printf("1\n");
        }
        else
        {
            printf("0\n");
        }
    }
    return 0;
}