B+树、B*树详解

推荐：https://ivanzz1001.github.io/records/post/data-structure/2018/06/16/ds-bplustree

一、B树和B+树的区别

这都是由于B+树和B具有这不同的存储结构所造成的区别，以一个m阶树为例。

（1）关键字的数量不同；B+树中分支结点有m个关键字，其叶子结点也有m个，其关键字只是起到了一个索引的作用，但是B树虽然也有m个子结点，但是其只拥有m-1个关键字。

（2）存储的位置不同；B+树中的数据都存储在叶子结点上，也就是其所有叶子结点的数据组合起来就是完整的数据，但是B树的数据存储在每一个结点中，并不仅仅存储在叶子结点上。

（3）分支结点的构造不同；B+树的分支结点仅仅存储着关键字信息和儿子的指针（这里的指针指的是磁盘块的偏移量），也就是说内部结点仅仅包含着索引信息。

（4）查询不同；B树在找到具体的数值以后，则结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束，也就是说B+树的搜索过程中走了一条从根结点到叶子结点的路径。

二、B+树的定义：

1、其定义基本与B-树同；

2、非叶子结点的子树指针与关键字个数相同； 

3、非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）； 

4、为所有叶子结点增加一个链指针；

5、所有关键字都在叶子结点出现。

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

三、B+的特性：

1、所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2、不可能在非叶子结点命中；

3、非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

4、更适合文件索引系统。

四、B+树的操作：查询、插入、删除

   1、查询：有两种查找运算，

（1）从最小关键字起顺序查找；

（2）从根节点开始，进行随机查找

在查找时，若非终端节点上的关键字等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子节点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子节点的路径。其余同B-树的查找类似。

B+树的优势在于查找效率上，下面我们做一具体说明：

　　首先，Ｂ＋树的查找和Ｂ树一样，类似于二叉查找树。起始于根节点，自顶向下遍历树，选择其分离值在要查找值的任意一边的子指针。在节点内部典型的使用是二分查找来确定这个位置。

　　（1）、不同的是，Ｂ＋树中间节点没有卫星数据（索引元素所指向的数据记录），只有索引，而Ｂ树每个结点中的每个关键字都有卫星数据；这就意味着同样的大小的磁盘页可以容纳更多节点元素，在相同的数据量下，Ｂ＋树更加“矮胖”，ＩＯ操作更少

　　B树的卫星数据：

　　B+树的卫星数据：

　　需要补充的是，在数据库的聚集索引（Clustered Index）中，叶子节点直接包含卫星数据。在非聚集索引（NonClustered Index）中，叶子节点带有指向卫星数据的指针。

　　（2）、其次，因为卫星数据的不同，导致查询过程也不同；Ｂ树的查找只需找到匹配元素即可，最好情况下查找到根节点，最坏情况下查找到叶子结点，所说性能很不稳定，而Ｂ＋树每次必须查找到叶子结点，性能稳定

　　（3）、在范围查询方面，B+树的优势更加明显

　　B树的范围查找需要不断依赖中序遍历。首先二分查找到范围下限，在不断通过中序遍历，知道查找到范围的上限即可。整个过程比较耗时。

　　而B+树的范围查找则简单了许多。首先通过二分查找，找到范围下限，然后同过叶子结点的链表顺序遍历，直至找到上限即可，整个过程简单许多，效率也比较高。

例如：同样查找范围[3-11]，两者的查询过程如下： 

B树的查找过程： 

B+树的查找过程：

2、插入：

　　 B+树的插入与B树的插入过程类似。不同的是B+树在叶结点上进行，如果叶结点中的关键码个数超过m，就必须分裂成关键码数目大致相同的两个结点，并保证上层结点中有这两个结点的最大关键码。

3、删除：

　　B+树中的关键码在叶结点层删除后，其在上层的复本可以保留，作为一个”分解关键码”存在，如果因为删除而造成结点中关键码数小于ceil(m/2)，其处理过程与B-树的处理一样。在此，我就不多做介绍了。

【小结】B+树相比B树的优势： 

1.单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少； 

2.所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定； 

3.所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。

五、B+树的用途：

B+树主要适用于索引操作。为什么说B+树比B-树根适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

B+树的磁盘读写代价更低: B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部节点先对B-树更小。如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。举个例子：假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes, 一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-树(一个节点最多8个关键字）的内部节点需要2个盘块。而B+树内部节点只需要1个盘块。当需要把内部节点读入内存的时候，B-树就比B+树多一次盘块查找时间（在磁盘中就是盘片旋转时间）

B+树的查询效率更加稳定: 由于非终节点并不是最终指向文件内容的节点，而只是叶子节点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根节点到叶子节点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

【注】：Mysql中B+树的应用：详见：https://ivanzz1001.github.io/records/post/data-structure/2018/06/16/ds-bplustree

六、B*树

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

【小结】

B-树：

多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

B+树：

在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

B*树：

在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

【注】不同树的实际应用场景：

1、AVL树的应用:

最早的平衡二叉树之一。应用相对其他数据结构比较少。windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。

2、红黑树的应用：

红黑树的应用比较广泛，主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(lgn)，效率非常之高。

例如，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。

3、B+树的应用：详见B+树