1 / (ch x)^n 形式的不定积分

今日在计算习题时遇到了的积分，由于一个寒假没有碰过数学书的缘故，算了将近一个小时也不见结果，上网百度也只有常见的双曲函数积分，实在无奈。又花了将近半个小时，终于推出了结果（还是间接推出来的，唉），接着又用了将近两个小时推出一般公式。现在附上推导过程和最后的递推公式。

部分地方的表达可能不太规范（没有写积分常数云云...）。

如果你也因为相同的原因上网搜索相应公式，而看到这点笔记，希望有所帮助，如有错误，希望在评论中指出。不想听我废话的，直接跳到这里^[1]

首先看一道物理题：在宇宙中，有两个各为 1kg 的小球，相距 1m，若周围没有任何物体，两小球在引力的作用下相互靠近，问两小球接触需要花多久？

很明显，由题目的描述，可以列出几个方程。两个球的运动过程是对称的，只考虑一个就够了。设一个球运动的路程为 s(t)，初始距离为 len = 1(m)，则两者距离为:

由万有引力定律，两者之间的引力大小为：

加速度大小为路程对时间的二阶导数，则：

再由牛顿第二定律，则有：

得到了一个微分方程，首先让它变成一阶的，得到：

解这个方程的左边时，我手贱地使用了换元，先令 , 得到 (len 等于 1 ，下面都直接写成了数字), 左边变为：。再双曲变换一下，令 , 得到 , 很简单，但是前一个我实在无能为力...... 后来突然想起来还有分部积分大法，一下子就积分积出了左式。直接得到：

这样一来，这个问题也就解决了：

K() - K(0) = ，得到 , 终于做出来了（大约需要 26.7 个小时...）。

既然公式都推导出来了，现在就可以间接得到了。由和，可以得到 , 那么：

由这两个式子，我终于得到了那个梦寐以求的式子：

对求导，就会得到，也就是的导数，这样一来，上式可以简化为：

到了这里，题目已经完成，相应的积分公式也推出来了，但我又对一般形式十分感兴趣，又接着求了，把它们都列在一起：

推到这里，就可以看到一点规律了，很明显和有关，和也有关。每一项的系数也与的次数有很直接的关系，那就猜想：

证明很容易，直接微分就是了。

这个积分公式与有着相似之处，两者会不会有什么联系呢？

2019-03-08