浅谈交叉熵

一：定义

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为：

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由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下：可见该函数符合我们对信息量的直觉

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1.1熵

另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)，这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量。

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现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

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其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

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然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

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1.2：相对熵

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异.

维基百科定义:In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1] 。直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美,而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。
KL散度的计算公式：

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n为事件的所有可能性,DKL的值越小，表示q分布和p分布越接近。

1.3 交叉熵

由上面公式可以推出：

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等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

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在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。
所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

二：交叉熵的应用

三：总结

3.1 参考

https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337
https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2013/11/05/why-you-should-use-cross-entropy-error-instead-of-classification-error-or-mean-squared-error-for-neural-network-classifier-training/
https://www.zhihu.com/question/41252833/answer/195901726